A classe do zero no conjunto das sucessões

Sucessões com limite zero

Vou apresentar aqui, sob diversos ângulos a questão do limite e vou mostrar que este é um caminho para construir os números reais. Não vou me preocupar com uma construção formal, vou tentar ser mais didático do que formal, até porque não é um assunto novo, se alguma novidade se lhe pode dar é a forma de apresentar.

Os números reais são os limites de sucessões de números racionais é por esta razão que é verdade a proposição

Teorema: O limite da soma é a soma dos limites,
\lim\limits_{n} (s_{n} + t_{n})  =  \lim\limits_{n} s_{n} +  \lim\limits_{n}  t_{n}

porque os números reais são limites e nós queremos (construir) um conjunto que tenha uma estrutura algébrica. Você vai ver aqui a razão porque é difícil demonstrar os teoremas sobre limites: é da construção dos números reais que eles tratam.

Vou re-escrever este artigo até que ele atinja o seu objetivo, mostrar o que é limite e usar sucessões para construir os números reais. Quando você estiver lendo, de um “refresh” na página, ela poderá
se alterar porque eu posso estar redigindo quando você estiver lendo…

Os leitores são bem vindos a sugerirem alterações, apenas eu não vou agir como o velho, na fábula “o velho e o menino e o burro” – acho que, de Jeca Tatu (Monteiro Lobato ?). Também não vou ter tempo para verificar esta última afirmação. Quero dizer que vou ouvir, mas vou decidir o meu caminho.
Seja bem vindo com suas sugestões ou críticas, mas observe que o texto ainda está em preparação,
até porque eu ainda apanho com “webmath“. Não é apenas traduzir LaTeX na web…

A definição de limite zero, para sucessões é

(\forall \epsilon >  0) (  \exists N \in {\mathbf N}^{*})   (  n >   N \implies |s_{n}|  <   \epsilon  )

Há uma infinidade de sucessões que satisfazem a esta definição, qualquer potência de
\frac{1}{n}
ou qualquer múltiplo, por número (positivo ou negativo). Substitua n por uma expressão polinomial estabelecendo a exceção quando passar nas raízes do polinômio, por exemplo.

Se isto estiver claro então você aceita que podemos falar da classe das sucessões que convergem para zero, ou a classe das sucessões que tem limite zero. A palavra
classe está sendo usada aqui com o sentido de conjunto, depois você vai ver que este conjunto
é uma das classes de uma relação de equivalência.

Vou mostrar que tem alguma “estrutura” nesta classe, e para começar vou lhe dar um nome
S_{0}

  1. S_{0} é fechada para adições, a adição é comutativa e associativa e a sucessão
    identicamente nula pertence a esta classe
  2. S_{0} é fechada para multiplicações, e a multiplicação é comutativa e associativa
  3. Vale a distribuitividade da multiplicação relativamente a soma em S_{0}

Estas propriedades nos dizem que S_{0} é um anel sem unidade. Vou deixar que você
demonstre que este anel tem divisores de zero, você vai ter que construir pares de sucessões com suportes disjuntos ( nulas em conjuntos disjuntos) cujo produto é zero.

Mas S_{0} tem uma propriedade mais importante do que ser anel, ela faz colapsar qualquer sucessão “decente” para dentro dela. Se multiplicarmos uma sucessão qualquer por um elemento
de S_{0} o resultado (queremos) fica em S_{0}

Isto não é verdade para uma sucessão qualquer, mas é verdadeiro se fizermos uma restrição no conjunto de todas as sucessões: Vou definir S como o conjunto de todas as sucessões limitadas. Agora a afirmação acima é verdadeira:

S_{0} S =  S_{0}

Esta é uma propriedade importante na estrutura de anel, nos diz que S_{0} é um ideal de
um certo anel.

Neste ponto é melhor começarmos tudo desde o começo, preciso de um anel do qual S_{0}
seja um ideal. O que fiz acima foi a introdução.

Um anel de sucessões de números racionais

Por definição S é o conjunto de todas as sucessões limitadas de números racionais. Lembre-se que “sucessão limitada” não é “sucessão que tem limite“. Uma sucessão s é limitada se
(\exists N \in {\mathbf N}) (\exists r \in {\mathbf Q}) ( n > N \implies |s_{n}| < r )

quer dizer que os termos de s se encontram dentro da bola

{\cal B}(0, r)

a bola centrada em zero e de raio r

a partir de um certo termo, (e como o que ficou de fora é um número finito, poderiamos
dizer que tudo fica dentro de uma outra bola, mas isto não interessa).

Vou começar por definir melhor S – como o conjunto de todas sucessões limitadas de números racionais (lembre-se que eu falei no começo que eu queria construir os números reais).

É fácil agora demonstrar
Teorema:
(S, + , \cdot) é um anel com unidade (e com divisores de zero)
e que o conjunto das sucessões de números racionais que convirjam para zero, S_{0} é um
ideal deste anel.

Os ideais funcionam para aneis assim como alguns subgrupos (os subgrupos normais) funcionam para os grupos. Neste exemplo se perde alguma coisa do caso geral, aqui a multiplicação é comutativa. Em geral a propriedade multiplicativa que define um ideal fica:

S_{0}S = SS_{0}

Não preciso me preocupar com este detalhe aqui porque a multiplicação é comutativa, se não for existe o conceito de ideal bilateral que são aqueles com os quais podemos fazer cálculos interessantes e representam para os aneis o que os grupos normais representam para os grupos.

Com os ideais bilaterais podemos definir quocientes, e o resultado é outro anel, o anel quociente.

Um exemplo que vai servir de modelo

A forma de fazer é semelhante a que se usa com grupos, um caso bem conhecido é subgrupo dos múltiplos de
n,

n {\mathbf Z}

que é um subgrupo do grupo \mathbf Z,
(também é um ideal do anel \mathbf Z) e cujo quociente

\frac{\mathbf Z}{n \mathbf Z }

é o grupo dos restos na divisão por n.

Uma outra forma de falar é considerar as classes laterais, cada resto representando uma dessas classes, que são obtidas somando-se um inteiro ao “subgrupo” n {\mathbf Z} a quantidade possível de tais classes é a quantidade de restos possíveis na divisão por n. É comum se escrever
que o resultado deste quociente é

\{\overline{0}, \dots, \overline{n-1} \} = {\mathbf Z}_{n}

quando na verdade deveriamos dizer (e não tem erro no que está escrito cima)

\{ n{\mathbf Z}+0, n{\mathbf Z}+1, \dots, n{\mathbf Z} + (n-1) \} = {\mathbf Z}_{n}

o conjunto das possíveis translações de n{\mathbf Z} em {\mathbf Z}, um número
finito, exatamente o número dos restos na divisão inteira por n.

Vou fazer o mesmo com o ideal S_{0} colocado agora no lugar do ideal n {\mathbf Z}.

Quer dizer que vou trabalhar com as translações de S_{0} em S.

Uma primeira diferença: não se trata de um número finito de classes! nem podem ser contadas… Isto
merece ser tratado a parte e vou fazer um desvio para tratar da cardinalidade do conjunto das
sucessões de números racionais.

A cardinalidade do conjunto de todas as sucessões de números racionais

Começamos com os números racionais produzindo o conjunto de todas as sucessões limitadas,
isto é, um subconjunto de {\mathbf Q}^{\mathbf N}, é a notação para o conjunto de todas as funções definidas em {\mathbf N} com valor em {\mathbf Q}.

Esta notação é interessante porque sugere a cardinalidade do conjunto: por exemplo, se A,B forem
um conjuntos finitos, com a , b elementos respectivamente, a quantide de funções
A \rightarrow B que o o conjunto $B^{A}$
é b^{a} porque uma função é um arranjo a-a dos elementos de B, são a-nuplas de elementos de B.

Se o domínio tiver a cardinalidade de \mathbf N as funções serão sucessões que agora tomam os lugar dos arranjos. Se tiver uma cardinalidade “maior” a notação é uma generalização da notação de arranjos
e nos ajuda a compreender a cardinalidade envolvida.

Uma forma de identificar uma função é pelo seu conjunto de valores (aqui uma sucessão de números
racionais), ou um subconjunto de números racionais. Isto nos mostra uma inclusão:

Teorema: {\mathbf Q}^{\mathbf N} \subset {\mathbf P}(\mathbf Q)

O conjunto de todas as sucessões de números racionais está contido no conjunto de todos os subconjuntos
do conjunto \mathbf Q. A recíproca é simples: como card({\mathbf Q}) = card({\mathbf N})
então todo subconjunto de \mathbf Q é contável ou enumerável portanto é uma sucessão. Se for um
conjunto finito podemos considerá-lo equivalente a um sucessão que se anula fora de um conjunto finito de
índices. Provamos, assim, a igualdade

Teorema: {\mathbf Q}^{\mathbf N} =  {\mathbf P}(\mathbf Q)

Quando um conjunto A for finito, o conjunto das partes de A, {\mathbf P}(A), tem cardinalidade maior do a de A. A relação, que se
estuda na Análise Combinatória (Binômio de Newton) estabelece

Lema:
A cardinalidade do conjunto das partes de
um conjunto com n elementos, é 2^{n} - é a quantidade de funçoes que é possível construir

\{1, 2, \dots, n \} \rightarrow \{0,1\}

Para ver isto, (demonstração) considere os dois valores, 0,1 como verdadeiro=1, falso=0 e portanto quando a um dos “numeros” do domínio estiver associado a 0 (falso) isto quer dizer que ele não pertence ao subconjunto
que estamos definindo, e quando o valor for 1 (verdadeiro)temos um elemento do subconjunto em
questão.

Estas funções se chamam indicadores, (também são chamadas funções características), elas indicam quando um elemento pertence (ou não ao conjunto) identificando o próprio conjunto, e portanto a “quantidade” delas é a mesma da “quantidade” de subconjuntos. Isto prova que o cardinal do conjunto das partes de 1, \dots, n é o cardinal do conjunto das funções \{1,\dots,n\}^{\{0,1\}} que é
2^{n}.

Mas o que dissemos acima não resolve a questão
card({\mathbf Q}^{\mathbf N}).
Mas é usando esta informação que podemos terminar. Vamos supor (hipótese de absurdo) que o cardinal do conjunto das partes de \mathbf Q é ainda o mesmo que card(\mathbf N). Então podemos encontrar uma sucessão “crescente” cujos valores sejam os elementos de \mathbf P(Q).

Não se esqueça que um sub-conjunto de \mathbf Q é uma sucessão de números racionais. Quer dizer, dado o subconjunto x \in \mathbf Q então para todo número
natural $n$ está bem definido o valor x_{n}.

Sucessões são conjuntos ordenados, pelo índice, o que significa que definimos uma função
tomando valores em \mathbf N com valores em $\latex \mathbf P(Q)$.

Para mostrar que isto não possível vamos agora mostrar que existe uma nova sucessão que não se encontra
entre as anteriores, o que é absurdo.

  1. Vamos construir a sucessão

    t \ ; \  {\mathbf N} n \ni  \mapsto   t_{n} \in {\mathbf Q}

  2. Defina:
      t_{n}    </ol>    \latex \mathbf P(Q)$

    Uma outra forma de dizer isto é que podemos indexar os elementos de \mathbf P(Q) em
    {\mathbf N}.

    A importância da sucessão crescente é que elas são funções injetivas, e como, por hipótese construimos
    uma indexação de \mathbf P(Q) então a função injetiva é também sobrejetiva, usamos todos os
    elementos disponíveis de Q.


    Notação:
    Seja t a sucessão que indexa \mathbf P(Q) em \mathbf N.


    Temos:


    t_{0} =  t_{00} ,  t_{01} ,  t_{02} , \dots ,   t_{0n} , \dots
    t_{1} =  t_{10} ,  t_{11} ,  t_{12} , \dots ,   t_{1n} , \dots
    \dots \dots     \dots   \dots        \dots     \dots      \dots
    t_{m} =  t_{m0} ,  t_{m1} ,  t_{m2} , \dots ,   t_{mn} , \dots
    \dots \dots     \dots   \dots        \dots     \dots      \dots


    descrevendo todos os elementos de \mathbf P(Q), uma sucessão crescente e agora você já deve
    se estar perguntando como podemos garantir (e definir) t_{n} < t_{m} sempre que n < m.
    No conjunto das partes existe uma ordem que é a inclusão, e construimos os conjuntos t_{k} tal
    que t_{k} \subset t_{k+1}. Quer dizer que tem pelo menos um elemento em
    t_{k+1} que não pertence a t_{k} . A sucessão
    t é crescente segundo a ordem “inclusão”.

    Isto nos permite construir agora
    s_{0} escolhendo um elemento arbitrário em t_{0}
    s_{1} escolhendo um elemento arbitrário de t_{1} tal que s_{1} \notin   t_{0}
    e assim sucessivamente
    s_{k} escolhendo um elemento arbitrário de t_{k} tal que s_{k} \notin   t_{k-1}
    portanto s = (s_{k})_{k \in \mathbf N} é uma nova sucessão de números racionais diferente de todas
    as sucessões t_{k} que por hipótese indexavam \mathbf P(Q).

    Uma contradição.

    Portanto \mathbf P(Q) não é enumerável, e como é um conjunto infinito então
    vale a afirmação card( {\mathbf N}) <  card({\mathbf P(Q)}) . O símbolo < que acabamos
    de usar não é uma desigualdade, quer apenas dizer que temos cardinais distintos. card é
    um classificação dos conjuntos, em outras palavras os conjuntos se situam em classes de cardinalidade.
    Não tem sentido dizer que o conjunto {\mathbf P(Q)} tem mais elementos do que o conjunto
    \mathbf Q porque não podemos contar os elementos.

    A desigualdade significa apenas que {\mathbf P(Q)} pertence a uma
    classe de cardinalidade diferente de \mathbf N.

    Como poderiamos construir, efetivamente, a sucessão t ? Há muitas
    maneira de fazer isto, mas é interessante mostrar uma!


    t_{0} =  \mathbf Z
    Para construir
    t_{1} vamos acrescentar ao conjunto t_{0} a progressão
    aritmética de razão 0.1 e consequentemente

    t_{0}  \subset t_{1} .

    Observe que é uma progressão aritmética sem primeiro e nem último termo.

    Para construir
    t_{2} vamos acrescentar ao conjunto t_{1} a progressão
    aritmética de razão 0.01 e consequentemente

    t_{1}  \subset t_{2} .

    E assim sucessivamente, observe que para construir t_{n} vamos
    inserir em t_{n -1} a progressão artimética de razão
    10^{-n}, muitos dos seus elementos repetem os elementos das
    outras progressões mas há uma infinidade de novos termos.


    Hipótese de Cantor

    Estamos aqui na fronteira da teoria dos
    conjuntos, chegamos na hipótese de Cantor de que as classes de cardinalidade dão saltos,
    ou seja que não há conjuntos com cardinalidade intermediaria entre as classes


    card({\mathbf N}) e card({\mathbf P(N)}) .

    A hipótese de Cantor é um postulado
    da Teoria dos Conjuntos, isto foi demonstrado por Cohen resolvendo um
    dos problemas relacionados por Hilbert como parte da ocupação dos Matemáticos para o século 20 (alguns ainda ficaram para o século 21).

    Um novo conjunto e sua estrutura algébrica – números reais.

    Como S é um anel comutativo então o quociente

    \frac{ \mathbf S}{\mathbf S_{0}}

    é um anel. A demonstração você encontra em qualquer livro de Álgebra mas
    é um exercício de demonstração das propriedades. Entretanto se
    conscientize do que você estará demonstrando:

    1. A classe lateral \mathbf S_{0}
      é o elemento neutro da adição, isto depois vai ser traduzido, como propriedade do limite, dizendo-se “se uma sucessão tiver limite zero, e outra sucessão tiver limite s a soma
      delas terá limite s, e mais na frente poderemos enunciar o teorema
      da soma de limites para limites quaisquer.
    2. A classe lateral \mathbf S_{0} + 1, que é a translação
      de \mathbf S_{0} pelo número racional 1
      é o elemento neutro da multiplicação, isto depois vai ser traduzido, como propriedade do limite, dizendo-se “se uma sucessão tiver limite 1, e outra sucessão tiver limite s a produto delas
      terá limite s. Depois poderemos enunciar o teorema
      do produto de limites para limites quaisquer.

    Uma propriedade de \mathbf S_{0}

    Teorema: Não há nenhum ideal de \mathbf S
    que contenha \mathbf S_{0}, \mathbf S_{0} é um ideal
    maximal.

    Costumamos demonstrar esta propriedade por absurdo, o que significa começar afirmando que ela é falsa e que existe um ideal de \mathbf S
    que contém \mathbf S_{0}. Vou chamar este ideal de
    \mathbf H.