Iniciação Científica na UeVA

Equações diferenciais e Aproximação polinomial

\exists  M|A+M=A
Eu trabalho em duas linhas de ação, Equações Diferenciais Ordinárias, e Aproximação Polinomial.

Esta introdução se dirige mais de perto aos alunos que possam estar interessados em trabalhar
comigo em Iniciação Científica.

  • Equações Diferenciais é um tipo de equação em que a variável (a incógnita) é uma função.
    Um exemplo simples f’ = x que você encontra nas primeiras aulas de Cálculo Diferencial e
    integral. A solução desta equaçãosoluções de uma equação diferencial

    O gráfico é típico de uma aula de cálculo em que o professor insiste que há diversas integrais (aqui eu estou chamando “soluções” da equação diferencial. Em geral uma equação diferencial tem como solução uma família de curvas. A equação f’=x tem por solução qualquer parábola da forma
    F(x) = x**2 + K que você pode ver no gráfico. Neste caso podemos dizer que são curvas paralelas porque todas tem a mesma derivada, mas nem sempre será assim.

    Podemos dizer, para começar, que resolver uma equação diferencial consiste em descrever a família de curvas que ela representa.

    Mas as equações diferenciais não precisam estar expressas com relações algébricas simples, as
    curvas de crescimento curvas de crescimento são um exemplo disto, são curvas que os médicos que fazem o atendimento infântil tem e que foram feitas a partir da experência (estatística) do registro do crescimento das crianças. Se parecem com as curvas da figura, mas as curvas da figura são apenas uma ilustração (não foram calculadas a partir de uma tabela médica). Este é um exemplo
    do dramatismo que as equações diferenciais encerram: uma criança, ao nascer, entra numa destas curvas, (é o que chamamos de condição inicial) e fica nale pelo resto de sua vida. Quer dizer, uma criança com um pre-natal deficiente (da mãe e dela…), com alimentação deficiente (da mãe e dela),com problemas de saúde da mãe pode nascer pequena e com isto estará fada a ser um adulto pequeno. Neste caso as curvas de crescimento são parelas como as parábolas do primeiro
    exemplo. Observe que em casos raros pode acontecer que uma criança fuja de sua curva de crescimento, pule para baixo ou para cima, depende do seu desenvolvimento na época de crescimento (pular para baixo é o mais comum).

    Estes dois casos que apresentei são equações diferenciais de primeira ordem, envolvem somente
    a derivada primeira da solução. Uma equação mais envolvente seria f” + f’ + f = 0 que está resolvido por dois métodos em uma solução com gnuplot. Baixe pelo menos dois arquivos, “exer02_09.gnuplot” e “exer02_09.dados”
    e depois rode

    gnuplot exer02_09.gnuplot

    num terminal do Linux. Se você usar Linux com certeza gnuplot estará instalado ou se encontrará disponível no disco de instalação.

    Este exemplo lhe mostra uma solução aproximada junto com uma solução exata. Existe uma condição inicial que seleciona exatamente uma curva dentre as curvas da família de soluções.

  • Aproximação Polinomial digamos que começou com Euler mas leva o nome Lagrange e
    você pode encontrar mais alguma coisa a respeito neste página. O exemplo “exer02_09.gnuplot”
    contém uma aproximação polinomial, um polinômio de Taylor.

    Mas estes métodos de aproximação polinomial são antigos e complicados se usar a não ser em alguns casos especiais. Na década de 40 nasceu outro método, “polinômios por pedaços” ou em outras palavras um bocado de pedaços de polinômios para fazer uma aproximação. Um exemplo mais simples e mais corriqueiro é uma poligonalaproximação linear por pedaços, aparece todo dia em algum jornal. Nesta figura você
    pode ver o que há de mais simples em aproximação polinomial por pedaços, cada pedaço é uma reta – um polinômio do primeiro grau. Mas podem ser mais complicados (e consequentemente guardar mais informações) podem ser polinômios do terceiro grauaproximação polinomial  por pedaços(os mais comuns). No caso desta figura você
    pode ver uma curva formada por dois polinômios do terceiro grau, um definido no intervalo [-3,0]
    e o outro definido no intervalo [0,3]. Este último foi obtido com as seguintes informações:

    • -3 8 1

    • 0 -1 -1
    • 3 5 0

    uma matriz de dados em que na primeira coluna se encontra os nós ondes os valores foram
    medidos, na segunda coluna se encontram os valores lidos em cada nó (por um sensor) e na
    terceira coluna as taxas de variação em cada nó. A figura resultante registra graficamente
    estas informações.

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