Wavelets

Pode-se dizer que consiste de uma generalização dos polinômios trigonométricos, e como estes, é um exemplo de aplicação da Álgebra Linear.

As  wavelets são vetores linearmente independentes e desta forma uma base para um espaço vetorial. Aqui os vetores são funções e o objetivo é obter aproximações ótimas de certas classes de funções pela seleção de uma base apropriada.

Se você concluir que esta é uma frase vazia, não estará em nada errada, cara leitora,  mas foi este o meu objetivo: inicialmente chocá-la com o intuito de em seguida dar sentido aos aspectos difusos da frase anterior. 

Para isto preciso de um pouco da história do aparecimento das wavelets. Primeiro que tudo observe que hoje vamos encontrar as raízes das wavelets no século 19 e certamente no século 18, na teoria de Fourier,  quando as considerarmos uma “deturpação” dos polinômios trigonométricos. Com isto quero dizer que uma forma de analisar o surgimento das wavelets passa pela teoria de Fourier dos polinômios trigonométricos.

Nesta forma de ver, se busca uma alternativa às  ondas trigonométricas
\sin(kx), \cos(kx) para melhorar as comunicações das quais elas foram a base, e aqui a palavra “base” pode ser literalmente tomada no sentido da Álgebra Linear.

Até 1950 quando começaram a ser “deturpadas” com enjanelamento para corrigir o defeito de que elas são ondas que se propagam para o infinito com seu comportamento periódico o que atrapalhava sua função de
captar sons com a finalidade de codificá-los para transmissão. Os sons, muito em particular a voz humana, tem um comportamento útil de “sinal”, quer dizer, uma função que se anula fora de um intervalo compacto.

Observe o significado do adjetivo “útil”, os sons se propagam indefinidamente no orbe, na Terra, uma vez que dependem de material que vibre para sua propagação, o ar. Mas do ponto de vista de quem os escuta, eles tem uma vida útil de suporte compacto, deixam de ser escutados depois de alguns segundos.

Na década de 80 diversos matemáticos desenvolveram experimentos em busca de alternativas para as ondas trigonométricas, entre eles o francês P. Meyer, que criou o termo ondelettes, traduzido
para o inglês como wavelets que se tornou o termo técnico predominante.

A matemática americana Daubechies
foi extrememante feliz em suas experiências descobrindo uma wavelet que melhor se adapta à percepção do ouvido humano e consequentemente a wavelet ideal
para as comunicações.

Continuando a comparação com as ondas trigonométricas, temos uma base ortonormal de vetores com
\sin(kx), \cos(kx) com um produto escalar
adequado, confira polinômios trigonométricos. O parâmetro k
corresponde à frequência das ondas eletromagnéticas ou sonoras. A invenção das wavelets se baseiou na busca duma função \Phi que fosse
à suporte compacto à qual se poderia aplicar dois
tipos de parâmetros:

\Phi_{a,w}(x) =  \Phi(w(x-a));

Os dois parâmetros, a,w são chamados, respectivamente, de translação
e dilação. A função \Phi é a onda mãe,
chamada em inglês, mother wave, e \Phi_{a,w} é
uma translação-dilacionada de \Phi. Desta forma podemos obter
resultados superiores ao que seria possível com as “velhas ondas
trigonométricas” uma vez que podemos fazer análises locais usando
translações-dilacionadas da onda mãe.

A figura
Wavelet01
mostra o significado do enjanelamento. Nela usei uma função à suporte
compacto para enjanelar uma função polinomial no intervalo $[-3,3]$, quer
dizer que a função polinomial foi zerada fora desta intervalo e preservada
dentro do mesmo intervalo. Observe que as funções polinomiais não
constantes, crescem, ou decrescem arbitrariamente para grande valores de
x, com o enjanelamento se “guarda” a parte do gráfico da função na
região de enjanelamento.

A figura
Wavele02
mostra uma {\em onda mãe} que é utilizada na figura
na próxima figura para ilustrar uma análise local.

Na terceira figura você o conteúdo das anteriores, o polinômio enjanelado, a onda mãe e uma dilação-translação da onda mãe “dirigida” para analisar
o que ocorre no ponto x=1. Desta forma é possível analisar o comportamento
local de um sinal, ou, no caso da voz humana, é possível captar melhor,
em distintos momentos, os sinais da voz humana o que permite uma codificação,
e posterior decodificação, mais precisa e sobretudo, com uma menor
quantidade de “levantamentos”, em suma, mais barato e mais
preciso.

Wavelet03

Há varios aspectos em que a Álgebra Linear é utilizada para produzir as
nuances de um determinado fenômeno, o assunto específico é
autovetores e seus correspondentes autovalores. Comparando, a
onda-mãe de Daubechies, na verdade suas dilações-translações, são
os autovetores de melhor qualidade para captar os sons que possam
ser escutados pelo ouvido humano.
É preciso corrigir o aspecto de “fora de uso” das “velhas ondas
trigonométricas”, isto é verdade para as comunicações telefônicas,
entretanto sempre que formos estudar um fenômeno eletromagnético, as
“velhas ondas trigonométricas” se encontram no foco principal e é
preciso não esquecer que parte das comunicações dependem do campo
eletromagnético para serem conduzidas. Desta forma continua eminentemente
pedagógico começar pela teoria dos polinômios trigonométricos, até porque
é mais fácil produzir exemplos computacionais com eles para ilustrar
a teoria. Assim existem duas grandes áreas a análise harmônica
dedicada à teoria de Fourier, e análise não harmônica que é a
extensão da análise harmônica para estudar as propriedades de
ondas mães particulares.

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