Polinômios trigonométricos

Sobral Matemática – Polinômio trigonométrico

Polinômio trigonométrico


Estou usando MathJax para escrever matemática na web. É simples como inserir
uma folha de estilo num documento LaTeX…


Polinômio trigonométrico
é uma descoberta atribuida à Fourier mas
na verdade apoiado nos trabalhos dos o que precederam no uso de somas
trigonométricas, como Leonhard Euler,
Jean le Rond d’Alembert, and Daniel Bernoulli
e com o mesmo objetivo, resolver equações
diferenciais
.

Apenas Fourier em sua monografia apresentada à Academia de
Ciências da França
teve a ousádia de afirmar que as séries trigonométricas
poderiam representar quaisquer funções periódicas
.

Os polinômios trigonométricos, de
que vou tratar aqui, são aproximações de funções, ou melhor, projeções de
funções definidas num determinado espaço, com imagem num espaço de dimensão
finita gerado pelos vetores linearmente independentes
\sin(kx), \cos(kx)

com k \leq N , portanto um espaço vetorial de dimensão 2N+1 .

A leitora pode ficar intrigada com a dimensão 2N+1 , de onde sai este
número? Se k \in \{0, 1, \dots, N\} seria razoável pensar em
2N + 2 , entretanto se k=0 \sin(kx) \equiv 0 e o conjunto deixaria de
ser uma base pois a Álgebra Linear nos ensina que zero não pode
pertencer a um conjunto de vetores
linearmente independentes
. Então temos que retirar sin(0) o que nos
deixa com o total indicado.

Falar das
séries de Fourier me obrigaria discutir a convergência destas séries que
tornaria um post como este, muito longo. A leitora interessada pode
encontrar este tópico em outro lugar, aqui ficará um resumo do essencial.
Aliás, para que fique claro que é um resumo, compare com o livro de
Zygmund, Trigonometric Series que tem cerca de 750 páginas.

Há várias formas de apresentar os polinômios trigonométricos, a que vou
preferir seria como aplicação da Álgebra Linear cujo sumário seria:

  1. Um espaço vetorial de funções, E , munido de produto escalar;
  2. Seleção de vetores ortonormais para estabelecer uma base para
    um subespaço de E , chamado aqui de {\cal F} .
  3. Definição de um projetor de E \rightarrow {\cal F}

O resultado deste projeto será que dada uma função f \in E poderemos descobrir um
polinômio trigonométrico \hat{f} \in {\cal F} que é uma aproximação de f .

Descobrindo um produto interno

Uma integração por partes mostra que
\int\limits_{-\pi}^{\pi} \sin(x)\cos(x) dx = 0
e se fizermos uma abstração podemos escrever
(eq 1) = \int\limits_{-\pi}^{\pi}  f(x)g(x) dx

que representa, se f,g forem duas funções integráveis sobre o intervalo
[-\pi, \pi] , uma fórmula que uma breve investigação mostra que tem as
propriedades

  • (eq 2.1) f,g \mbox{  integráveis e  } \alpha, \beta \in {\mathbf R};
  • (eq 2.2) = \alpha  +  \beta ;
  • (eq 2.3) \geq 0 \mbox{ e }  =  0 \Longrightarrow   f = 0;

A equação (eq 2.3) não é verdadeira em geral, e leva à definição
de função quase sempre zero. Vou omitir este detalhe apenas com a observação
de que uma discussão mais cuidadosa deste “fenômeno”
serve para definir uma relação de equivalência e conduz à teoria dos espaços de
Lebesgue, inclusive mesmo à medida de Lebesgue. Tem muita coisa bonita
para ser dito na expansão deste parágrafo. Aceite um desafio, escreva uma
expansão para este parágrafo que eu coloco
um link aqui para sua publicação, neste blog ou em outro lugar.

Mas se f,g forem funções contínuas a equação (eq. 2.3)
é verdadeira e vou assumir esta hipótese para
mais à frente mostrar que ela pode ser eliminada.

As equações (eq. 2.1)- (eq. 2.3) são as propriedades do produto escalar
definido nos espaços vetoriais da
Álgebra Linear isto nos permite usar a equação (eq. 1)
como definição do produto escalar em um determinado espaço de funções que
vou aqui definir, usando a hipótese que me permitiu considerar verdadeira
a equação (2.3), como sendo o espaço vetorial das funções
continuas definidas no intervalo [-\pi, \pi] .

A equação (eq 1) define um produto escalar e qualquer múltiplo dela por um
escalar também é um produto escalar. Logo mais vou mostrar que preciso de um fator
para corrigir o produto escalar. Corrigir com a finalidade de reprodução sem lixo de um vetor projetado no espaço gerado pelos vetores \sin(kx), \cos(kx). Enquanto eu estiver dizendo “gerado por” podemos considerar
k=0 em \sin(kx), o que não se pode dizer é que é uma base…

Posso agora recomeçar a introdução que fiz acima com dados mais concretos.
O espaço vetorial E mencionado acima é {\cal C}([-\pi, \pi]) , o espaço
das funções contínuas definidas no intervalo [-\pi, \pi] no qual
a fórmula

(eq 4) = \int\limits_{-\pi}^{\pi}  f(x)g(x) dx

define um produto escalar e aqui havia um erro, eu havia deixado ficar “=0” que não
teria nenhum sentido. Agora está correto, a equação (eq 4) define um produto
escalar assim como qualquer múltiplo desta expressão por um escalar, e logo
vou mostrar que preciso usar um fator para corrigí-la como definição do
produto escalar.

Este espaço é “pequeno” para a teoria de
Fourier, tendo sido este ponto a razão de críticas que foram feitas à teoria
incompleta de Fourier que somente pode ser entendida completamente um século
depois com a integração à Lebesgue, mas também por razões de espaço vou
deixar estes detalhes para que a leitora interessada complete. Mais adiante
vou deixar alguma dicas de como fazê-lo, apenas no momento uma observação,
a continuidade é um requesito exagerado, bastava exigir que “f,g fossem
integráveis” e isto já seria um espaço vetorial onde o produto escalar
da equação (eq. 4) estivesse definido.

A leitora pode ver aqui como aos poucos os detalhes duma teoria podem ser
acrescentados, e esta história foi sendo construída de 1700 a 1900, ou seja
de Euler à Lebesgue e o livro de Zygmund, 1930, é um resumo significativo dela.

Estabelecido este cenário, podemos calcular a projeção de um vetor do espaço
E na direção de um dos vetores da base, por exemplo, a projeção de
f \in E na direção de \cos_{k}(x) = \cos(kx) ou na
direção de \sin_{k}(x) = \sin(kx)
(eq 5) a_{k} =   =  \int\limits_{-\pi}^{\pi}  f(x)\cos_{k}(x) dx;k > 0;

(eq 6) b_{k} =   =  \int\limits_{-\pi}^{\pi}  f(x)\sin_{k}(x) dx; 	k \geq 0;

Os números, a_{k}, b_{k} são os chamados coeficientes de Fourier e
da mesma forma como fazemos na Álgebra Linear, ou na Geometria Analítica, quando
descobrimos as projeções de um vetor relativamente aos vetores da base do espaço,
podemos escrever o vetor como combinação linear dos vetores da base:

Entretanto, não é esta a expressão que você pode encontrar nos livros de Cálculo sob a etiqueta de “coeficientes de Fourier”, as equações (eq 5) e (eq 6) estão erradas e quando eu corrigir o produto escalar, mais na frente, vou refazer a definição dos coeficiente de Fourier.

(eq 7) \hat{f}(x) = \sum\limits_{k=0}^{N} a_{k} \cos(kx) + b_{k}\sin(kx) \approx f(x)

ou,

(eq 8) \hat{f} = \sum\limits_{k=0}^{N} a_{k} \cos_{k} + b_{k}\sin_{k} \approx f

Há uma diferença entre as equações (eq 7) e (eq 8), uma representa o que acontece em
cada ponto e a outra é uma expressão global para os espaços. Para explicarmos o que
significa a “aproximação” na equação (eq 8) teriamos que discutir a topologia, ou neste
caso mais simples, definir qual é a norma, ou distância usada no espaço
{\cal C}([-\pi, \pi]) ;

Novamente aqui ficam reticências para serem preenchidas pela
leitora interessada.

Um gráfico mostrando a aproximação

Vou mostrar-lhe um gráfico que se for crítica irá torcer o nariz ante a afirmação de
que nele se apresenta uma função f e sua aproximação \hat{f} .

O gráfico de cor verde é o da função f e em azul você pode ver um padrão que se repete é gráfico duma função periódica.

O gráfico de cor verde é o da função f e em azul você pode ver um padrão que se repete
é gráfico duma função periódica.


O gráfico de cor verde é o da função f e em azul você pode ver um padrão que se repete
é gráfico de uma função periódica, de período 2\pi porque é uma combinação linear
de senos e cosenos que são funções 2\pi -periódicas. No intervalo [-\pi, \pi ]
o padrão se aproxima do gráfico de f , como dizia Fourier, as
séries trigonométricas podem representar qualquer função periódica.

Neste momento já estou em condições de corrigir as equações (eq 4), (eq 5) e (eq 6). Lendo o
programa
você pode verificar que não foi usada a equação (eq 4) mas sim

(eq 9) = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x) dx

para o produto escalar.

Experimente retirar este fator e verá que não ha superposição dos gráficos, mais exatamente,
você irá observar que houve um erro pela soma de uma constante. Ora a constante é o
termo

(eq 10) a_{0} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(0x) dx

e aqui temos algumas alternativas. Como \cos(0) = 1 então na equação (eq 10)
estamos vendo o produto escalar

Produto escalar

Produto escalar

da função constante
\frac{1}{2\pi} por f

Alias, é interessante observar que você tem antes seus olhos um dos casos mais intrigantes de exceção numa
fórmula de Matemática e vou repetir, agora corrigida,
a expressão dos coeficientes de Fourier de f

(eq 5) a_{0} = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-pi}^{\pi} f(x) dx;
(eq 6.1) a_{k} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(kx) dx; k > 0;
(eq 6.2) b_{k} = \frac{1}{\pi} \int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(kx) dx; k > 0;

uma fórmula com uma exceção com cerca de cem
anos de investigação para deixar claro o porque da exceção
, de Fourier a
Riesz-Fischer. Mas eu pude mostrar-lhe o por que, em algumas linhas, montado
no trabalho que foi feito por centenas de matemáticos.

Também
aqui podemos ver a razão por que os polinômios trigonométricos, que foram usados até
a década de 50 como método para codificar as conversas telefônicas, foram aos poucos
sendo abandonados, ou melhor, modificados, para finalmente dar nascimento a um novo
exemplo da Álgebra Linear chamado wavelets. A função f no gráfico é uma função que
se anula no infinito, coisa típica dos sinais e, em particular, é como percebemos os
sons, como o ouvido humano percebe um som. Um polinômio trigonométrico capta o significado
do som num determinado intervalo e o repete indefinidamente, periódicamente que é o
padrão que a figura mostra no gráfico de linha azulada.

Há várias maneiras de corrigir isto, uma delas consiste na alteração do comprimento
de onda, usando \sin(k x/T), \cos(k x/T) em que T é um número inteiro poderemos
ver o padrão captar um segmento mais alongado do gráfico de f . Você pode repetir
o gráfico acima usando o programa
fourier.gnuplot.

Alterando o programa, coisa que você pode fazer livremente uma vez que ele é distribuido
de acordo com a licença GPL, você poderá introduzir o número T na expressão para
observar que o polinômio trigonométrico assim obtido expande o padrão copiando mais
detalhes de f .

É possível que o programa produza um erro de precisão, verifique onde se encontra o valor
de “delta” e reduza a precisão no cálculo da integral. Um valor modesto como 0.1 deve
funcionar, quer dizer, a aproximação será menos precisa, mas infelizmente, como “linguagem
de programação” gnuplot é mesmo modesto.

Mas entendendo o programa em gnuplot, será fácil traduzí-lo para uma linguagem de alta
precisão como calc ou C++ deixando que gnuplot apenas faça os gráficos que é sua
grande utilidade.

Como expandir a teoria de Fourier

Fourier escreveu a sua monografia sobre o calor, uma equação diferencial, em 1822 mas foi
somente no começo do século 20 que se cristalisou uma teoria mais geral para a integração
que tornou possível calcularmos integrais relativamente a conjuntos mais abstratos do
que os conjuntos numéricos.

Lebesgue conseguiu resumir o que pensava numa teoria que leva
o seu nome e em que, de modo simplificado, sintetizou o que havia da medição geométrica
que justifica a integral de Riemann, generalizando-a para um conjunto qualquer. O que
se precisa é que a medida de dois conjuntos disjuntos possa ser somada sendo este o
resultado da medida da união, esta é a idéia central das medidas geométricas, da
medição na geometria euclidiana. Lebesgue definiu medida como uma função aditiva de
uma classe de subconjuntos que é uma “álgebra de conjuntos”
criando um espaço medido.

Num espaço medido podemos calcular integrais relativas à medida definida nele, e se
alterarmos a medida, se altera o valor da integral. Isto gerou uma riqueza
imensa de espaços
de funções permitindo múltiplas interpretações para o significado de uma mesma função,
dependo da forma como sua integral seja calculada.

Um exemplo simples disto é que
dois terrenos com mesma medida geométrica, mas colocados em distintas partes de uma
mesma cidade tem preços diferentes. O preço de um terreno
é uma integral calculada relativamente
a uma medida que é definida pelos “ interesses imobiliários“.

No caso do conjunto {\cal C}([-\pi, \pi]) podemos mostrar que ele está contido
num conjunto de funções que são integráveis portanto podemos calcular-lhes os coeficientes
de Fourier e neste espaço que se chama de {\cal L}^{2}([-\pi, \pi]) podemos
estabelecer uma identidade entre a quantidade de energia que é uma integral da função
em módulo e uma série obtida com os módulos dos coeficientes de Fourier: precisão
absoluta que somente pode ser obtida com a série trigonométrica, coisa impossível
de obter-se com a codificação/decodificação das telecomunicações onde sempre haverá
um erro, porque usa polinômios trigonométricos.
Felizmente o erro na codificação/decodificação das telecomunicações
é imperceptível pelo ouvido humano.

3 pensamentos sobre “Polinômios trigonométricos

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