Que é Matemática?

Que é Matemática?

A derivada

Se uma função real y = f(x) de
variável real tiver retas tangentes ao seu gráfico numa vizinhança do
ponto a, então dizemos que f é diferenciável em a e o
coeficiente angular da reta tangente ao ponto (a,f(a)),
designado com o símbolo f'(a), é a {\em derivada} de f
no ponto a.
A função y = f'(x) que fornece o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico de f no ponto (x,f(x)) se chama derivada de f.

Deixe-me mostrar-lhe um gráfico e um programa escrito em gnuplot para que você possa
logo medir o poder da derivada. Tem um certo defeito o que vou fazer, de alguma forma
estou passando uma etapa, porque vou usar derivada sem discutir primeiro como
calculá-la, se você superar este defeito e fizer um uso positivo dele, ganhará em
motivação para aprender a calcular a derivada. Digamos que eu comece dizendo,
“observe o que é possível fazer se você souber calcular a derivada!”.

Os gráficos

Reta tangente ao gráfico

Reta tangente ao gráfico

Outra reta tangente ao gráfico

Outra reta tangente ao gráfico

mostram retas tangentes ao gráfico de f e foram feitos com este programa
escrito em gnuplot:

  • pow(x,n) = x**n; ## uma expressão melhor para potencia
  • f(x) = pow(x,2) – x – 6; ## a equação da função
  • df(x) = 2*x -1;## a derivada atualize se alterar f
  • a = 2; A = df(a); B = f(a); ## o valor de a, A, B – troque apenas “a”
  • r(x) = A*(x-a) + B ## a reta tangente
  • plot f(x), r(x), 0 ## comando para fazer gráficos

Se você souber calcular a derivada de uma função pode imediatamente usar este programa
para fazer gráficos de funções. Raspe, cole, e se divirta!

Observe que r(x) é a equação de uma reta apenas os coeficientes
A,B foram calculados
usando f, o coeficiente angular da reta foi calculado usando
a derivada de f. Este
é o significado da derivada: f'(a) é coeficiente angular instâneo do
gráfico de f no ponto (a,f(a)).

A equação
da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a)) se deduz direto
da equação da reta que passa no ponto (a,f(a)) e tem coeficiente angular
m
(eq 1) y = r(x) = B  + A(x-a);  (a,B) = (a,f(a)) ;  A = f'(a);
(eq 2) r(x) = f(a) + f'(a)(x - a);

que é a expressão do polinômio de Taylor do primeiro grau desenvolvido no
ponto x=a.

Para que você entenda melhor esta questão do coeficiente angular
instantânneo
um exemplo da Física é bem instrutivo. Considere a seguinte
situação representada na figura abaixo:

Quando o cordão se quebra a pedra segue pela tangente

Quando o cordão se quebra a pedra segue pela tangente



Neste gráfico estou simulando o que
aconteceria se eu estivesse rodando uma pedra presa a um cordão que,
num determinado instante se quebrasse.

A pedra, enquanto presa à minha
mão pelo cordão, em movimento, muda de direção a cada instante. Mas quando
o cordão se quebra ela se mantem numa direção fixa, a da tangente. Obviamente
que em seguida ela vai mudar de direção porque passa a ficar presa à Terra
pela força de gravidade. Mas, se não houvesse a força de gravidade, então,
sim, ela seguiria por uma reta – movimento uniforme não acelerado como
diz a Física.

A verdade é que, em todo o Universo, não existe um só corpo em
movimento uniforme não acelerado, todos os corpos sofrem a ação da
gravidade dos outros corpos no Universo e assim em todo o Universo não
existe uma única reta… mas na Geometria Euclidiana existem retas e disso
é que estou falando para discutir a derivada. Observe que neste simples
exemplo, estou mostrando que Geometria Euclidiana, que parece tão concreta,
na verdade é uma grande abstração da mente humana.

Retornando à figura da pedra presa ao cordão, o coeficiente angular da reta
que alí aparece, é a derivada do círculo naquele ponto. Você pode ver logo
aqui um método geométrico para o cálculo de derivadas:

  1. coloque uma regua
    tangente ao gráfico de f no ponto (a,f(a));
  2. e calcule o coeficiente
    angular, m, desta reta;
  3. f'(a) = m.

Outra vez usando gnuplot, com os comandos abaixo, que você
pode raspar e colar num terminal do {\tt gnuplot},

  • f(x) = (x+3)*(x-5)*sin(x/5.0);
  • df(x) = (x-5)*sin(x/5.0) +\
    (x+3)*sin(x/5.0)+0.2*(x+3)*(x-5)*cos(x/5.0);
  • P(x) = f(a) + df(a)*(x-a)
  • a = 4;
  • plot f(x),P(x),0

você pode repetir a figura abaixo na qual está representada a reta tangente
ao gráfico de f(x)=(x+3)(x-5)\sin(x/5.0) no ponto
(4,f(4)).

gráfico duma função

A reta tangente ao gráfico duma função

Apenas trocando valor de a
você pode obter
gráficos de outras retas tangentes ao gráfico desta mesma função ou outra
de sua escolha (redefina f e df no programa), escolha distintos valores
para a e repita o comando plot para ver tangentes em diversos
pontos do gráfico. Basta trocar o valor de a e repetir o comando
plot

Por exemplo, raspe e cole num terminal do gnuplot
este programa:

  • f(x) = (x+3)*(x-5)*sin(x/5.0);
  • df(x) = (x-5)*sin(x/5.0) +\
    (x+3)*sin(x/5.0)+0.2*(x+3)*(x-5)*cos(x/5.0);
  • P(x) = f(a) + df(a)*(x-a)
  • a = -4;
  • plot f(x),P(x),0 ;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”
  • a = -2;
  • plot f(x),P(x),0;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”
  • a= 0;
  • plot f(x),P(x),0 ;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”
  • a= 1;
  • plot f(x),P(x),0 ;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”
  • a= 2;
  • plot f(x),P(x),0 ;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”
  • a= 3;
  • plot f(x),P(x),0 ;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”
  • a= 5;
  • plot f(x),P(x),0 ;
  • pause -2 “Aperte enter para continuar”

e você vai ver sucessivos gráficos de retas tangentes ao gráfico
da função y = f(x)

Até este momento adotei um ponto de vista que pode ser constrangedor para você, leitora.
Estou usando a derivada, e supondo que você já sabe derivar,
mas eu lhe pedi que
aceitasse esta forma de comunicação com paciência, e agora vou mostrar-lhe o caminho
para aprender a derivar.

De qualquer maneira acho que vale a seguinte observação: se você fizer a Matemática
certa e conseguir traduzí-la corretamente para uma linguagem de programação então
você vai apreciar a Matemática acontecendo computacionalmente
. Em minhas
pesquisas em Matemática eu uso com frequência este método, escrevo equações, traduzo-as
numa linguagem de computação, se aparecer o que espero é porque acertei! Assim testo,
computacionalmente, a Matemática que eu estiver fazendo.

Vou ser resumido do contrário eu iria escrever um capítulo do
livro de Cálculo, e não é este o objetivo aqui. Você pode ler o livro de Cálculo na
biblioteca, aqui estou apenas tentando estimulá-la a fazer isto.

A definição da derivada para funções reais

A derivada mede uma taxa de variação instantânea, portanto um cálculo de
limite
. Mas deixe-me começar do começo, taxa de variação quer dizer
um quociente de diferenças que você pode ver indicado no gráfico
na figura (fig. 4).

taxa de variação de $latex f$ no intervalo $latex [a,a+\Delta x]$

taxa de variação de f no intervalo [a,a+Delta x]


O quociente entre duas diferenças:

(eq 3) \Delta_{a}(f) = \frac{f(a + \Delta x) - f(a)}{\Delta x}

é a tangente do ângulo \alpha no triângulo retângulo que você pode ver na
figura (fig. 4).

Mas eu quero o coeficiente angular da
reta tangente no ponto (a,f(a)) que é f'(a).
Se a curva graf(f) fosse
a tragetória de uma nave a liberar no ponto (a,f(a)) um foguete,
este foguete seguiria pela reta tangente com coeficiente angular f'(a).
É uma situação semelhante a da pedra presa ao cordão que se quebra na
figura (fig. 2).

Eu vou agora mostrar-lhe o cálculo deste limite.

Dada uma função y = f(x) podemos aplicar-lhe o operador diferença
caracterizado pelo símbolo \Delta, seguido do operador
quociente
para o qual não há um símbolo padrão.
A sequência
de operações é esta:

(eq 3) \Delta_{a,h}(f) = f(a + h) - f(a)
(eq 4) Q_{a,h}(f) = \frac{\Delta_{a}(f)}{h}
(eq 5) \lim\limits_{h=0} Q_{a,h}(f) = f'(a)

Se soubermos o significado da última linha, calculamos a derivada. Para
“decifrar” a última linha algumas vezes é preciso muito prática.
Entretanto, salvo alguns casos muito especiais que inclusive são chamados
de limites notáveis a grande maioria dos casos simples do dia-a-dia
são resolvidos com as regras de derivação descritas abaixo e mais um
banco de derivadas conhecidas, e alguma prática de
cálculo…

Um exemplo simples

A derivada da função f(x) = x^{3} é f'(x) = 3x^{2} e vou calcular
esta derivada usando quociente de diferenças seguido do limite. Acompanhe
a sequência de operações para a qual vou fazer uma legenda em seguida, e você
pode saltar da legenda para a sequências de operações para procurar entender
as passagens.

(eq 7) f(x) = x^{3};  \Delta_{a,h}(f) = f(a + h) - f(a) = 3a^{2}h + 3ah^{2} + h^{3};
(eq 8) Q_{a,h}(f) = \frac{\Delta_{a,h}(f)}{h} = 3a^{2} + 3ah + h^{2};
(eq 9) \lim\limits_{h=0} Q_{a,h}(f) = 3a^{2} = f'(a)

  1. Na equação (eq. 7) calculei a diferença com auxílio
    do triângulo de Pascal, confira no triângulo
    a linha de ordem 3,
    cancelei o termo em a^{3} quando subtrai f(a);
  2. Na equação (eq 8)
    calculei o quociente de f no ponto a
    com a diferença h. No quociente Q_{a,h}(f)
    as potências de h cairam de uma unidade, ficando
    um termo livre de h.
  3. Na equação (eq. 9)
    calculei o limite de Q_{a,h}(f) quando h=0
    que neste caso é simples,
    os termos que tem h se anulam. Resta o termo que
    não tem h com
    a conclusão f'(a) = 3a^{2}.

Para todas as funções polinomiais é assim simples, o cálculo vai ter mais
termos e ficar um pouco mais complicado de fazer
a redação, mas tem alguns
truques redacionais que vou mostrar-lhe.

Considere apenas f(x) = x^{n} e confira que é semelhante ao caso acima.

  1. A diferença é calculada com a linha de ordem n
    do triângulo de Pascal
    que começa com
    a^{n} seguido de (^{n}_{n-1})a^{n-1}h
    e termina com h^{n}.
    Coloque reticências no
    meio que é tudo “irrelevante”. Se convença!
  2. Quando calcular \Delta_{a,h}(f)
    vai se cancelar o termo de maior grau,
    em a ficando de (^{n}_{n-1})a^{n-1}h
    e terminando com h^{n}.

    (^{n}_{n-1})a^{n-1}h = C_{n}^{n-1}a^{n-1}h = na^{n-1}h

    Coloque reticências no
    meio que é tudo “irrelevante”. Se convença!

  3. Quando calcularmos o quociente
    Q_{a,h}(f) caem de uma
    unidade todas
    as potências de h ficando
    de n a^{n-1} e terminando com h^{n-1}.
    Coloque reticências no
    meio que é tudo “irrelevante”. Se convença!
  4. Todos os termos, exceto o primeito,
    na^{n-1} se anulam.
    Conclusão:

    f(a) = a^{n} \Longrightarrow f'(a) = na^{n-1}

    que é a regra de derivação da enésima potência.

Logo você vai ver as
regras de derivação, abaixo, e como calcular a derivada de um polinômio
qualquer.

O cálculo da derivada

A derivada não é uma operação aritmética, ela é o resultado da aplicação do
operador limite a uma sucessão de quocientes de diferenças}
isto torna pouco provável que
se consiga implementar a derivação em Computação Algébrica, ou seja
“calcular a derivada automáticamente com um programa de cmputador”.

Você pode ver facilmente que procede o que foi dito no parágrafo anterior
analisando as contas que fiz para determinar a derivada de f(x) = x^{n}.
Observe a passagem da equação (eq. 8)
para a equação
(eq. 9). Não foi uma passagem algébrica, houve um salto
lógico que se traduziu na frase “todos termos que contém h se anulam exceto
o primeiro
”. Este raciocínio não é algébrico, nós apenas sabemos dizer que
aplicamos o operador limite \lim\limits_{h=0}. Sabemos fazer este cálculo,
mas não sabemos traduzí-lo com um algoritmo o que torna impossível, no momento
pelo menos, traduzir esta passagem para um programa de computador.

Ainda
assim os programas de Computação Algébrica conseguem calcular
derivadas de forma mais efetiva que o humano ao aplicar as regras
do Cálculo para diferenciação que se podem resumir nas seguintes:

  1. A derivada de uma função constante é zero.
  2. Se uma função for linear ela é a sua própria função linear tangente
    portanto a derivada de uma função linear é ela mesma;
  3. derivada da soma:
    Se f e g forem deriváveis, então f + g é derivável e
    (f + g)' = f' + g'

    Esta é a regra que se aplica ao cálculo da derivada duma função polinomial
    qualquer que é uma soma de monomios da forma a_{k}x^{k} cujas derivadas
    eu calculei nos exemplos. Os monômios estão multiplicados pelo número a_{k}
    e se aplica a regra do produto por um número descrita abaixo.

  4. derivada do produto: se f,g forem duas funções diferenciáveis, então

    (fg)' = f'g + fg'

  5. caso da multiplicação por um número: está contido na primeira regra
    e na regra
    da derivada do produto, mas merece destaque. Se r for um número,
    e se f
    for derivável, então (rf)' = r f'.
    Aplique a derivada do produto e você verá
    que obtém esta regra.
  6. derivada de funções polinômiais:
    a derivada de f(x) = x^{n} é f'(x)=n*x^{n} para funções reais de
    variável real (ou complexa). É uma
    aplicação direta do operador diferença ao monômio $f(x) = x^{n}$ seguido do
    cálculo do limite.
  7. Para um polinômio qualquer se aplica a regra da soma de derivadas.
  8. derivada da \frac{1}{f}
    \frac{\frac{1}{f(a+\Delta x)} - \frac{1}{f(a)}}{\Delta x} =

    \frac{f(a) - f(a+\Delta x)  }{ \Delta x f(a+\Delta x)f(a)  } =
    \frac{ \frac{f(a) - f(a+\Delta x)  }{\Delta x}      }{ f(a+\Delta x)f(a)  }

    na última equação tanto o numerador como denominador têm limite e o limite do
    denominador é diferente de zero então podemos aplicar o operador limite
    \lim\limits{\Delta x = 0} tendo por resultado

    (\frac{1}{f}(a))' =  \frac{f'(a)}{f(a)^{2}}

  9. derivada do quociente quando g(x) não se anular no ponto a,
    então numa vizinhança de a

    (\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^{2}}

  10. s regra da cadéia, a derivada da função composta,
    que se f,g forem duas funções
    diferenciáveis e se a composta
    f(g(x)) existir então
    (f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)

    A regra da cadeia se aplica ipsis literis em qualquer dimensão em que
    as compostas estejam definidas.

Estas regras junto com um banco de derivadas conhecidas permitem que os
programas de Computação Algébrica calculem derivadas de forma muito
mais efetiva que o ser humano sugerindo a existência de inteligência
artificial
.

Uma alternativa à Computação Algébrica é a diferenciação algorítmica que tem
conseguido alguns avanços,
mais ainda não se pode comparar com as
possibilidades da Computação Algébrica, e como esta, esbarra no salto
lógico entre operações aritméticas e operador limite.

Dois exemplos, um deles difícil

  • Uma derivada difícil: f(x) = \sin(x);
    f'(x) = \cos(x);

    Esta
    derivada é obtida uma uma desigualdade geométrica e mais algumas
    propriedades do limite.

  • Mas \cos(x) = \sin(x - \frac{\pi}{2});

  • g(x) = \cos(x); então podemos calcular g'(x) usando
    uma propriedade da trigonometria, junto com a derivada do \sin.
    A sequência de cálculos é a seguinte:

    (eq 6) g'(x) = \lim\limits_{h=0} Q_{x,h}(g);

    (eq 7) Q_{x,h}(g) = \frac{\cos(x+h)-cos(x)}{h} =

    (eq 8) Q_{x,h}(g) =    \frac{\sin(x+h-\frac{\pi}{2})-\sin(x -\frac{\pi}{2})}{h};

    (eq 9) Q_{x,h}(g) = Q_{x-\frac{\pi}{2},h}(f);

    (eq 10) g'(x) = f'(x-\frac{\pi}{2}) =   \cos(x-\frac{\pi}{2}) = \sin(x);

    (eq 11) \cos(x)' = \sin(x);

Esta é uma breve descrição da metodologia com que os programas de
Computação Algébrica calculam derivadas e
consequentemente também integrais, ou seja apenas eles representam uma
automatização dos métodos que nós, os humanos, usamos para calcular
derivadas, e conseguem fazer o trabalho com muito mais rapidez e sem os
erros que os humanos frequentemente cometem…

Que é mesmo a derivada?

A derivada não é exatamente um número, o caso univariado é enganador.
A comparação da derivada de funções univariadas com a jacobiana das funções
multivariadas levou a uma generalização do conceito de derivada. Observe
como isto foi feito, obviamente, olhando depois que tudo aconteceu\dots Quem
nos dá o fio da meada é a derivada implícita. Se z = F(x,y) for
diferenciável então podemos obter, derivando implícitamente:

(eq 17) dz = \frac{\partial F}{\partial x}dx + \frac{\partial F}{\partial y}dy =
(eq 18) dz = \left( \begin{array}{cc}    \frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y}    \end{array} \right)  \left( \begin{array}{c} dx \\ dy \\ \end{array} \right)

Na equação (eq 18)
deduzi da equação (eq. 17)
um produto de matrizes em que aparecem as extranhas variáveis dx, dy, dz
nas quais não há nem x nem y e nem z.
Isto é uma outra história que
criou um tremendo drama na Matemática numa tentativa de explicar o que
seriam os infinitesimos com que os matemáticos até o início do século
20 identificavam os símbolos dx, dy, dz.

Para entender como o drama foi resolvido, vou derivar implicitamente, coisa
que ninguém faz, uma função univariada: y - f(x) = 0. Para fazê-lo escrevi
a função univariada de forma implícita

(eq 19) y - f(x) = 0 \Longrightarrow dy - f'(x)dx  \Longrightarrow dy = f'(x) dx;

Se considerarmos o ponto (a,f(a)) do gráfico da função diferenciável
y = f(x) podemos obter da equação (eq. 19) a equação
da reta tangente ao gráfico da função no ponto (a,f(a)) = (a,b)

(eq 19) (a,f(a)) = (a,b);
(eq 20) dx := (x-a); dy := (y-b);
(eq 21) dy = f'(x) dx; \Longrightarrow y - b = f'(a)(x - a);
um novo produto de matrizes surge na equação (eq 21).

Apenas agora uma matriz 1 \times 1 que se identifica com um número.
Matrizes são identificadas com funções lineares e f'(a) é o coeficiente
angular da reta tangente ao gráfico de y = f(x) no
ponto (a,f(a)).

Com isto resolvemos o significado das variáveis extranhas, agora
dx, dy no caso univariado. Quando derivamos encontramos o modelo para
o objeto linear tangete, não o próprio objeto linear tangente. Então a
derivada é uma função linear que serve como modelo para o objeto linear
tangente. Observe o gráfico na próxima figura

a reta tangente e o gráfico da derivada

a reta tangente e o gráfico da derivada



Podiamos ter feito dois gráficos, um num espaço identificado pelas variáveis
dx, dy e outro onde se encontra o gráfico de y = f(x). Simplesmente não
precisamos de infitesimais, dx, dy são os nomes de duas variáveis em
relação ás quais represntamos a função linear tangente em parte devido a um
defeito de linguagem e comunicação porque é complicado falar da função
linear f'(a) e mais natural falar da função linear que associa à variável
dx a sua imagem f'(a)dx = dy. Então, como

(eq 22) f: {\mathbf R} \longrightarrow {\mathbf R};   x \stackrel{f}{\mapsto} f(x) \in {\mathbf R};
(eq 23) f' {\mathbf R} \longrightarrow {\cal L}({\mathbf R}, {\mathbf R});         x \stackrel{f'}{\mapsto} f'(x) {\cal L}({\mathbf R},{\mathbf R})

a derivada é uma função que associa a cada ponto do domínio uma função
linear cujo gráfico é paralelo ao gráfico da reta tangente, no caso
univariado ou em qualquer outra dimensão finita.

Esta formulação está pronta para a generalização para espaços de dimensão
não finita. O Cálculo que fazemos com espaços de dimensão finita pode ser
generalizado para os espaços abstratos, no caso dos espaços vetoriais
normados praticamente podemos repetir as relações existentes nos livros
de Cálculo evitando as questões dimensionais, e Henri Cartan escreveu, na
década de 60, um livrinho intitulado Calcul différentiel
em que no título, ele nada sugere que os espaços de base são
espaços de Banach.
.

É isto que é a jacobiana de uma função multivariada, a função linear que serve
de modelo para a variedade linear tangente ao gráfico de uma função
diferenciável em cada um dos pontos de seu gráfico. O nome jacobiana surgiu
pela falta de claro entendimento do que seria o conjunto de derivadas
parciais
que aparecem quando derivamos uma função multivariada e que a derivada implicita,
claramente, mostra que se trata de uma função linear sendo a jacobiana
a matriz da mesma.

E os infinitésimos? como muita coisa em ciência, foi
trabalho perdido e muita pesquisa feita para justificá-los até mesmo
sendo criada uma teoria complicada de expansão dos números reais onde eles
aparecem.

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