Teorema de Cauchy ou a integral de Cauchy

Teorema de Cauchy

O teorema de Cauchy fornece a expressão integral de uma função análitica
a partir dos seus valores na fronteira do domínio sendo portanto a
solução de um PVF, problema de valor na fronteira, ou em inglês,
BVP-boundary value problem.

Se \Omega for um domínio do
plano e \gamma = \partial\Omega então

(eq. 1) f(a)Ind_{\gamma}(a) = \frac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\frac{f(t)dt }{t - a};

em que podemos identificar um produto por convolução de f pelo núcleo
de Cauchy.

Esta integral é chamada de integral de Cauchy.

O número Ind_{\gamma}(a), é o índice de
a
, relativamente à
curva \gamma}, conta o número de vezes que \gamma circula à
volta do ponto a, por, exemplo, se a for um ponto no exterior da curva
\gamma a fórmula de Cauchy retorna zero. Não podemos calcular os valores
de f em cima de \gamma. Das duas uma, ou conhecemos estes valores, o
que significa que f é uma condição de fronteira e então não
precisamos aplicar a fórmula de Cauchy para calculá-los ou f é uma função
ou mesmo uma medida definida na fronteira mas, possivelmente,
com valores não
explicitos pelo menos em alguns pontos, pontos de salto, por exemplo,
ou melhor dizendo não é uma função
definida ponto a ponto e sim uma medida definida em \gamma para a qual
não tem sentido buscar valores nos pontos: medidas são funções
aditivas de conjuntos.

Se considerarmos a \in K \subset \Omega, K um conjunto compacto,
então a integral de Cauchy é absolutamente
convergente
podendo ser derivada. Usando a propriedade da derivada das convoluções

(eq. 2) (f*\eta)' = f'*\eta  \Longrightarrow f'(a) \in  {\mathbf C}

vemos que uma função definida pela integral de Cauchy é derivável e sua
derivada novamente é definida pela integral de Cauchy. Isto significa
que a derivada f'(a) é um número complexo ou seja uma função linear
complexa.

Assim a integral de Cauchy define uma função complexa no interior do domínio
\Omega limitado pela curva \gamma.

A notação usual para f como função de {\mathbf R}^{2}
em {\mathbf R}^{2} é f = u+iv
em que u,v são funções reais bivariadas com

(eq. 3) f'(a) = \left[ \begin{array}{cc}  	u_{x}(a) & u_{y}(a) \\ v_{x}(a) & v_{y}(a) \\  	\end{array}\right] = J(f);

uma função linear complexa.

As funções lineares complexas formam um subconjunto próprio das funções
lineares do
{\mathbf R}^{2}, {\cal L}({\mathbf R}^{2}), elas são representadas pelas matrizes da forma

(eq. 4) {\cal L}({\mathbf R}^{2}) \ni \left[ \begin{array}{cc}          \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \\          \end{array}\right] \approx ( \alpha - i \beta ) \in {\mathbf C} \\

(eq. 5) \left[ \begin{array}{cc}          \alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \\                      \end{array}\right] \left(  \begin{array}{c} x \\ y \\  \end{array}\right) \equiv   (\alpha - i \beta)(x + iy);

são as funções lineares do {\mathbf R}^{2} que se identificam com a multiplicação
por um número complexo, quando vistas como funções lineares
complexas, como está indicado na
equação (eq. 5).

Se aplicarmos a equação (eq. 5) à jacobiana de f no ponto
\underline{a}, f'(a) vamos obter as chamadas equações de
Cauchy-Riemann
:

(eq. 6) J(f)(a) = \left[ \begin{array}{cc}  		u_{x}(a) & u_{y}(a) \\ v_{x}(a) & v_{y}(a) \\   	\end{array}\right] =   	\left[ \begin{array}{cc}          	\alpha & \beta \\ -\beta & \alpha \\          \end{array}\right];

(eq. 7) \left\{ \begin{array}{c}  	u_{x}(a) = v_{y}(a); \\    	u_{y}(a) = - v_{x}(a);\\  	\end{array}\right.

O sistema de equações diferenciais parciais
de primeira ordem na (eq. 7)
são as equações de Cauchy-Riemann.

Usando a equação (eq. 4) podemos escrever facilmente a derivada de f

f'(a) = u_{x}(a) - i u_{y}(a)

Como f pode
ser uma medida sobre \gamma então sua derivada pode não ser mais uma
medida e sim uma distribuição, entretanto a regularização pela convolução
resulta
numa função de classe {\cal C}^{\infty}(\Omega)
no interior do domínio \Omega.

Uma consequência simples da regularização por convolução é que f, definida
pela integral de Cauchy é infinitamente derivável e sempre suas derivadas
definidas pela integral de Cauchy agora pela derivada correspondente de f
na fronteira.

Uma pequena observação, en passant, foi resolvido, assim, o sistema de
equações diferenciais parciais de primeira ordem, as equações de
Cauchy-Riemann
. As contas que acabei de fazer mostram que a
integral de Cauchy define uma solução para estas equações. A recíproca
é mais fácil, qualquer solução das equações de Cauchy-Riemann
define uma função complexa com derivada complexa,
e sua restrição
à curva \gamma é o valor de fronteira da integral de Cauchy pela
unicidade da equação (eq. \arabic{equacaoUm})

Os matemáticos levaram
século e meio para compreender que a chamada
teoria das funções complexas
era a construção da solução desta equação diferencial. Resolver
esta equação de forma completa precisa dumas 450 páginas,
é o número de páginas do livro de Titchmarsh,
Theory of Functions,
que pode ser livremente baixado da página
{\tt https://archive.org/details/TheTheoryOfFunctions

Há vários detalhes importantes que foram ignorados nesta curta teoria,
por exemplo, a definição de função analítica.
As funções dadas pela integral de Cauchy são as funções analíticas.

Como elas são infinitamente diferenciáveis,
então elas tem uma série de Taylor em qualquer ponto do
domínio \Omega e as séries de Taylor estão associadas a um raio
de convergência que definem um disco dentro do qual elas convergem
uniformente. O raio de convergência será o daquele disco contido
em \Omega, entretanto existe uma fórmula para o cálculo do
raio de convergência que pode produzir um raio maior do que o disco
que se encontra contido em \Omega, se assim for, há um domínio
que contem \Omega onde f é analitica este tópico se chama
de extensão analítica e trata da busca do maior domínio
de analiticidade de uma função. O domínio máximo é o plano
complexo e as funções analíticas com este domínio se chamam de
inteiras, é o caso dos polinômios, mas também da função
exponencial, as funções trigonométrica.

As funções racionais são uma outra classe interessante de funções
que incluem um novo tópico, os polos. As funções racionais são
os quocientes de funções polinômiais e aqui temos as raízes
do numerador e as raízes do denominador: os polos.

Seriam necessárias as 450 páginas para cobrir todos os detalhes,
leia o livro de Titchmarsh, mas se prepare para encontrar um
ponto de vista diferente. Os livros clássicos começam com a teoria
geral das séries definindo funções analíticas como sendo aquelas
que têm uma série de potências convergente num disco, a partir
de onde chegam no domínio de analiticidade. Depois partem dum ponto
aparentemente inteiramente diferente para chegar na integral de
Cauchy e finalmente mostrar que as funções definidas pela
integral de Cauchy tem séries de potências. Optei, em parte, pelo
método de Rudin, Real and Complex analysis,
que consegue fazer esta teoria num capítulo de 40 páginas mas
apresenta a a integral de Cauchy no meio do capítulo.

2 pensamentos sobre “Teorema de Cauchy ou a integral de Cauchy

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