Logaritmo complexo

É comum se discutir o domínio do logaritmo: está definido apenas para o números reais
estritamente positivos.

Mas se considerarmos sua expansão para o números complexos acontecem algumas coisas
interessantes e então podemos ter Log(-1) definido…

No caso dos reais, log e exp  são funções inversas: log(exp(x)) = x  e se x > 0
também vale  exp(log(x)) = x.  A restrição na segunda parte da senteça se deve ao
fato de que o domínio do log real é o conjunto dos números reais positivos.

A exponencial pode ser expandida para os números complexos e a forma de fazê-lo é via
“fórmula de Euler”

e^{i y}= \cos(y) + i \sin(y)

e se z = x+iy  então podemos expandir a fórmula de Euler escrevendo

e^{x + i  y} = e^{x} e^{i y} =  e^{x} \cos(y)  +  i e^{x} \sin(y).. <br>

A expressão do meio é a mais prática e conhecida como forma polar do número complexo.
Consequência desta extensão da fórmula é que a expeonencial é uma função periódica,
ele se repete á cada faixa de largura 2\pi, e a imagem de qualquer destas faixas
é o plano complexo com um “problema” os valores se repetem nas bordas da faixa.
A faixa padrão seria {\mathbf R} \times [-\pi, \pi] se dando a repetição dos valores
da borda inferior
(x,- \pi ); \  x \in { \mathbf R } com os valores da borda superior
(x , \pi ); \   x \in { \mathbf R }. <br>

Solução do “problema” é eliminar uma das bordas definindo assim a exponencial <br>

exp: { \mathbf R } \times (- \pi, \pi ]  \rightarrow { \mathbf C }. <br>

Mas, desta forma, não se cobre todo o plano complexo na imagem, fica faltando uma semireta,
neste caso a semireta dos números reais negativos e então continuaremos com impossibilidade
de definir log( - 1 ). Ora, a seleção da semireta a ser retirada do plano complexo para definir
a exponencial é arbitrária, tire a semireta que determina o ângulo - \frac{ \pi }{ 4 } isto nos
força a redefinir o domínio da exponencial: <br>

exp: { \mathbf R } \times ( - \frac{ \pi }{ 4 }, \frac{ 7 \pi }{ 4 } ]  \rightarrow { \mathbf C }. <br />

é a faixa adequada. Agora $latex  -1 \in Dom( log )$ quer dizer que existe um número
complexo w tal que log( -1 ) = w. Posso calcular w diretamente,
mas vou preferir fazer um cálculo indireto que me parece mais intuitivo. </br>

Primeiro vou redefinir o logaritmo, compare com a definição feita acima.</br>

Log( z ) = log( | z | ) + i Arg( z ) .<br>

em que Arg( z ) é o argumento do número complexo z. <br>

Verifique você mesmo que Log( zw ) = Log( z ) + Log( w ) . <br>

Ora, z = - 1 tem módulo 1 e argumento \frac{ \pi }{ 2 } então

Log( -1 ) =  1 + i  \frac{ \pi }{ 2 } . <br>

<h2>Mas o melhor mesmo é que …</h2>

e^{ 1 + i  \frac{ \pi }{ 2 } } = -1 . <br>

e você já ouviu por certo uma história que a exp  nunca é negativa?  E é verdade, a exp real
nunca é negativa, mas quando saímos para os números complexos desaparece este conceito de
“<i>número negativo</i>”. Em { \mathbf C } tem o negativo de qualquer número,
mas não tem <i> números negativos</i>.
A ordem de $latex  { \mathbf R }$ se perde em { \mathbf C }. <br>

Vou terminar com uma imagem obtida por um programa que você pode baixar e rodar,
ele é distribuido sob a GPL, você também poderá modificá-lo e melhorá-lo pois tem um erro
que não consegui corrigir. Não se esqueça de enviar-me a cópia corrigida. <br>

A imagem

Imagem pelo Log de uma translação do círculo unitário.

Imagem pelo Log de uma translação do círculo unitário.

O círculo em azul é o círculo trigonométrico e em verde é sua translação usando o
vetor (a,b).
Defini também a função f(x) = - (b/a) x que passa no ponto (a,b) mostrando em
que direção o círculo
unitário foi deslocado. A curva de cor marrom é a imagem de S+a , é uma curva aberta
e mostra a
periodicidade da exp uma vez que ela atravessa mais de um faixa.
Para isto defini t \in \alpha - 2\pi, \alpha + 2pi] este intervalo aparece no topo
do gráfico. <br>

Sempre que você considerar uma curva fechada tendo zero no seu interior, sua transformada
via Log será uma curva aberta.  Você pode ver também nesta imagem uma explicação do
Ind_{ \gamma }( a )
o índice de um ponto a relativamente a uma curva. No gráfico aparece um padrão que repete,
é a imagem de cada volta dada sobre a curva…… ele esta intimamente ligado com a
multiplicidade duma raíz de equação algébrica e isto fica invisível enquanto estivermos vivendo
no mundo real…

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