A extrema eficiência do polinômio interpolante de Lagrange Waring

A extrema eficiência do polinômio interpolante de Lagrange Waring

Tarcisio Praciano-Pereira

Na primeira figura podemos ver o gráfico do polinômio de Lagrange-Waring, comumente conhecido apenas como de Lagrange interpolando os pontos sobre o gráfico duma função sobre o intervalo [-7,7].

imagem do Polinômio de interpolação de Lagrange-Waring

imagem do Polinômio de interpolação de Lagrange-Waring

A segunda figura traz a vizinhança tubular de raio 10 em torno da função y = h(x) que foi usada na seleção dos pontos para fazer a interpolação. Ambos os gráficos foram produzidos com gnuplot e com um script para gnuplot que pode se encontrado em [gnuplot].

 

É fácil alterar o script mecionado para fazer algumas experiências com os polinômio de interpolação de Lagrange-Waring, basta procurar onde se encontra a frase “fazer suas experiências” e fazer as alterações necessãrias. Infelizmente não é fácil fazê-lo com gnuplot. Infelizmente gnuplot tem uma Matemática muito rudimentar, afinal isto não é o seu objetivo – gnuplot é um programa para fazer gráficos que sabe alguma Matemática mais do que seria necessário para obter bons gráficos…entretanto

há saídas interessantes, produzir o programa com calc ou Python e com eles construir o script necessário do gnuplot. Neste momento você terá que editar o script para produzir as experiências o que signfica construir manualmente a matriz de pontos da malha – procure “fazer suas experiências ” e faça as alterações.

um zoom reverso no gráfico com a interpolação de Lagrange-Waring

um zoom reverso no gráfico com a interpolação de Lagrange-Waring

 

Confira os dois gráficos seguintes que lhe vão dar uma visão da excelência do polinômio de interpolação de Lagrange-Waring.

"Esticando" a o polinômio de interpolação sobre um intervalo de maior amplitude

“Esticando” a o polinômio de interpolação sobre um intervalo de maior amplitude

zoom reverso no gráfico da interpolação esticada.

zoom reverso no gráfico da interpolação esticada.

 

No primeiro deles eu alterei a malha construindo-a no intervalo [-17,17] e também aumentando a densidade dos pontos. No quarto gráfico eu fiz um zoom-reverso para mostrar a vizinhança tubular de raio 5. Se você fizer os gráficos com gnuplot, terá a possibilidade de fazer zoom-reversos praticamente arbitrários para examinar em detalhe o que acontece em vizinhanças pequeníssimas do gráfico. Se exagerar irá descobrir que gnuplot usa 1-splines para fazer os gráficos, ou em linguagem menos cientificamente shiita, usa poligonais para fazer o gráfico.

 

 

Enfim, a conclusão é que este velho algoritmo que construi um polinômio de grau n para interpolar n+1 pontos é duma excepcional eficiência para os que o contruiram no século 19 que não tinham os recursos que nós temos para compreender, como compreendiam, a fortíssima oscilação dos polinômios logo ao sair do intervalo das raízes. Aqui você encontra a razão dos dois últimos gráficos, como quero uma ótima interpolação sobre o intervalo [-7, 7], então vou construir o polinômio de interpolação de Lagrange-Waring num intervalo bem maior e no caso dos dois últimos gráficos eu usei o intervalo

[-17,17].

 

 

 

 

 

Referências:

 

[gnuplot] Um script do gnuplot que gera o polinômio interpolante de Lagrange Waring

Tarcsio Praciano-Pereira, junho 2014

http://www.calculo-numerico.sobralmatematica.org/programas/LagrangeWaring.gnuplot

norma do sup em [ -7.000000 , 7.000000 ]  -  || Q-h ||sup =  0.603811

norma do sup em [ -7.000000 , 7.000000 ] – || Q-h ||sup = 0.603811

norma do sup em [ -7.000000 , 7.000000 ]  -  || Q-h ||sup =  0.000000

norma do sup em [ -7.000000 , 7.000000 ] – || Q-h ||sup = 0.000000

norma do sup em [ -7.000000 , 7.000000 ]  -  || Q-h ||sup =  0.000000

norma do sup em [ -7.000000 , 7.000000 ] – || Q-h ||sup = 0.000000

No último gráfico, a norma do supremo calculada pelo programa
LagrangeWaring.py que pode ser baixado daqui obteve zero – obviamente ultrapassou a precisão com que o programa conseguiria fazer os cálculos.

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