Um velho teorema com uma nova apresentação

 

Fazendo simples o Teorema de Green

Tarcisio Praciano-Pereira

http://www.sobralmatematica.org/preprints/preprint_2017_05.pdf

Vou mostrar como é simples o teorema de Green começando com a
versão trivial e depois mostrando a versão geral. Um
programa de computador estará disponível para que você calcule
aproximadamente integrais de linha.

O teorema de Green é uma fórmula intrigante que povoa
os livros de Cálculo,
\oint\limits_{\partial \Omega} P dx + Q dy = \int\int\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy

em que à esquerda está a integral de linha duma forma diferencial
e à esquerda uma integral dupla duma
expressão associada com a forma diferencial da integral de linha. Tem um
salto de dimensão 1 entre as duas fórmulas. Há várias aplicações para
este teorema o que faz ser importante a sua compreensão e divulgação. Por
exemplo, a integral de linha representa a diferencial dum potencial
ao longo da fronteira de \Omega e se houver uma diferença não nula
então este potencial não é exato, o que ocorre com imensa frequência porque
os potenciais exatos são perturbados por forças externas que não esperamos
que existam. Um caso típico é o do pêndulo que se funcionasse num meio
ideal, sem atrito, sua diferença de potencial ao fim de cada ciclo seria
zero.

Neste artigo eu vou começar com um função potencial diferenciável à qual vou
aplicar o teorema de Green para obter a versão trivial. Depois vou dar um
exemplo que atende tanto à versão trivial como o caso geral quando
finalmente
vou enunciar o caso geral do Teorema de Green. Você não vai encontrar
demonstrações aqui, por que eu não iria produzir nenhuma que fosse diferente
das que você pode encontrar nos livros de Cálculo. O meu objetivo é levá-l@
a entender o teorema e consequentemente ter motivação para enfrentar os
cálculos da demonstração que dificilmente podem ser atenuados.

Se (P,Q) for um campo vetorial diferenciável definido num domínio
\Omega do plano, então
\oint\limits_{\partial \Omega} P dx + Q dy =         \int\int\limits_{\Omega} \left(          \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}         \right) dx dy
O teorema de Green tem uma versão trivial pela qual vou começar e que serve
para classificar os campos vetoriais que vou usar ao final na expressão do
teorema. Vou apresentar esta redação no caso de campos vetoriais
bivariados,
(x,y) \mapsto F(x,y) \in \mathbf{R}
com o objetivo
de manter a linguagem
simples.

Se F for um campo escalar, uma função real
de duas variáveis reais
, por exemplo,
continuamente diferenciável, então, pelo
teorema de Schwarz-Clairaut

J(F) =  f(x,y) = \left(P(x,y), Q(x,y)\right);
\frac{\partial F}{\partial x}  =  P(x,y);
\frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y) ;
\left( \begin{array}{cc}         P_{x} & P_{y} \\           Q_{x} & Q_{y} \\   \end{array}\right) =                \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} F}{ \partial x^{2}}          \frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial x}  \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}          \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}  \end{array}\right);
\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}=F_{xy}=Q_{x}=  P_{y}= F_{yx} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial x };

o que torna nula a integral

\int\int\limits_{\Omega}( Q_{x} - P_{y}) dx dy =  \int\int\limits_{\Omega}         (\frac{\partial Q}{\partial x}-  \frac{\partial P}{\partial y})         dx dy = 0;

Como posso calcular as primitivas de $Q_{x}, P_{y}$ é
possível deduzir, desta integral dupla,que a integral de linha, também
nula,
\oint\limits_{\partial \Omega} P_{x} dx + Q_{y} dy = 0
Mas a razão pela qual a integral de linha na equação anterior
é nula se pode deduzir de forma independente
da integração feita na integral dupla. Ela é
a integral de linha sobre um caminho fechado, a fronteira
do domínio \Omega quer dizer, uma integral que sai do ponto P
e retorna ao ponto P ao longo do caminho \partial \Omega .

Como
nesta construção inicial o integrando foi construído como derivada
dum campo vetorial F então a integral de linha começando
numa condição inicial P \in \Omega define uma primitiva F
associada à esta condição inicial P e então as integrais de linha deste tipo têm que ser nulas.

Uma das importância do teorema de Green é que ele separa os campos vetoriais
(P,Q) em duas classes:

  1. aqueles que são derivadas e correspondem ao teorema de Green trivial. Suas integrais de linha se dizem independentes de caminho porque se anulam sobre curvas fechadas.
  2. aqueles que não são derivadas e correspondem ao teorema de Green não trivial. Suas integrais de linha se dizem dependentes de caminho porque podem ser não nulas sobre alguma curva fechada.

O programa Green.calc lhe permite fazer o calculo aproximado das integrais de linha. Você poderá editá-lo para fazer você mesmo sua experiências e eis aqui
algumas dicas de como alterá-lo. Procure a menção “ edite aqui

pi= 4*atan(1); ## pi é uma aproximação da constante de Arquimedes
## printf(“pi = %f \n\n”, pi);
i = sqrt(-1);

## edite aqui para alterar a função – o campo vetorial (P,Q)
define f(x,y) { ## (y,-x)/zz* – z* é o conjugado
local z = mat[2];
z[0] = 1.0*y/(power(x,2) + power(y,2));
z[1] = -1.0*x/(power(x,2) + power(y,2));
return z;
}

## edite aqui para alterar a curva gama
define gamma(t) {
local r = 0.5; ## um fator de escala
local a,b; ## uma translação
a = 0.1; b = -0.25; ### coloque a = 0; b = 0 para centrar na origem
local z = mat[2] = {a+r*cos(t), b+r*sin(t) };
return(z);
}

## edite aqui para alterar a derivada da curva gama
define d_gamma(t) { ## mantenha a equivalência com gamma(t)
local r = 0.5; ## o mesmo valor de gamma(t)
local z = mat[2] = { -r*sin(t), r*cos(t) };
return(z);
}

## edite aqui para alterar o valor de delta
delta = 0.01
while(delta > 0.00005) {
print "delta = ", delta,
"O valor da integral de Linha ", RiemannLinha(delta);
delta *= 0.1;
}

quit;

e baixe o programa do link indicado e divirta-se entendendo o Teorema de Green.

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