Prisioneiros da terceira dimensão

Prisioneiros da terceira dimensão

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Tinha um erro neste texto

Este artigo foi corrigido eliminando um erro contido na versão anterior. Nele estou
mostrando um resultado interessante de geometria em dimensão 4, quando a interseção
de dois planos pode ser um ponto, o que é impossível na Geometria Euclidiana.

Faz parte do assunto do meu livro
Prisioneiros da Terceira Dimensão, publicado pela editora Chiado.

Se você quiser comprar o livro, eu fico satisfeito! Mas você pode ler a versão preliminar
do livro que se encontra
aqui.

E se você gostar talvez lhe interesse comprar o livro em papel que ficou bem elegante no
trabalho da Editora Chiado. Eu, o autor, o estou vendo no Mercado Livre, procure pelo título ou
pelo autor, Tarcisio Praciano-Pereira. Mas primeiro experimente a versão eletrônica
no link
informado acima.

O que é dimensão

Dimensão é um método de classificação de objetos em Matemática. Deixe-me ir
por exemplos para chegar ao ponto. Eu vou usar a Geometria Euclidiana que tem objetos
bem conhecidos:

  1. ponto
  2. reta
  3. plano
  4. espaço

As retas são conjuntos de pontos, portanto os pontos são os objetos de menor dimensão na
Geometria Euclidiana e diremos que pontos tem dimensão zero.

As retas tem dimensão 1 e um postulado da Geometria Euclidiana estabelece que duas retas
que se encontrem num ponto, determinam um plano e assim os planos são conjuntos de pontos
que tem retas como subconjuntos. Os planos tem dimensão 2.

O encontro de duas retas é a expressão coloquial, da linguagem, que em Matemática se expressa dizendo
que a interseção de duas reta pode ser

  1. o vazio, se as retas forem paralelas,
  2. um ponto,
  3. outra reta se as retas forem coincidentes.
  4. as retas podem ser reversas, vou falar mais a este respeito quando discutir o caso dos
    planos.

e isto tudo caracteriza dimensão 1 em que as retas se classificam.

Dois planos podem se interceptar segundo uma das seguintes maneiras:

  1. tendo como resultado o vazio, então diremos que são paralelos,
  2. tendo como resultado uma reta ou então
  3. tendo como resultado um plano, e neste caso eles são coincidentes.
  4. Quando dois planos forem paralelos, posso considerar a interseção de duas retas
    contidas em cada um deles. Elas não precisam ser paralelas, mas a interseção delas é vazia. Tais
    retas são chamadas reversas.

É interessante analisar a diferença entre os resultados obtidos com a interseção de
dois planos comparado com os possíveis resultados da interseção de duas retas. Eu numerei, propositadamente,
as possibilidades para compará-las agora.

Como os planos tem retas como subconjuntos e estas são de dimensão
1, então fica razoável pensar que os planos são objetos de dimensão dois.
Observe agora a segunda possibilidade
de interseção nos dois casos acima: resultou em objetos de dimensão inferior.
No caso de interseção entre
retas o resultado é um ponto cuja dimensão é zero,
no caso dos planos, a segunda possibilidade produziu, retas que são
de dimensão 1, justificando que eles, os planos, sejam de dimensão dois.

Avançando para dimensões maiores

Preciso alertá-la, cara leitora, de que estou construindo uma teoria
a partir de resultados, via exemplos, construtivamente,
quase pelo método como possivelmente os gregos construíram a teoria. A
segunda possibilidade, nos dois casos,
além de serem compatíveis, sugerem que os dois objetos se interceptam de modo a produzir uma dimensão
maior. No caso das retas para produzir um plano, o que dizer do caso dos planos?

Aquela “segunda opção“, nos dois casos de interseção, pode nos conduzir a um avanço,
se comparadas. Quando duas restas se
interceptarem segundo um ponto, elas determinam um plano, um salto dimensional.
O que dizer quando dois planos se interceptarem
segundo uma reta? Se produz outro salto dimensional,
é quando atingimos a dimensão 3, dois planos que se cortam segundo uma reta determinam
um espaço de dimensão três que os gregos simplesmente chamavam de “o espaço” porque neste ponto
se esgotou a Geometria Euclidiana e com ela a nossa prisão cultural que coincide com a nossa
prisão física na dimensão três.

Que significa determinar

Cabe uma pequena discussão a respeito disto, mas alertando-a, cara leitora,
de que é um assunto mais amplo. A palavra chave é gerar e você vai encontrar este
assunto num livro de Álgebra Linear.

Seguindo o método, dos exemplos, quando se diz dois pontos determinam uma reta, se quer dizer que
se tem as informações suficientes para traçar uma reta, com dois pontos dados. Exatamente no mesmo
sentido se pode falar que duas retas paralelas determinam um plano. Fique alerta para esta linguagem
que vai aparecer algumas vezes de agora em diante.

Somente para excitar sua curiosidade, observe que dois pontos são dois objetos de dimensão zero
e eles determinam uma reta que é de dimensão 1. Tem a ver com o salto dimensional.

A prisão tridimensional em que os gregos nos enfiaram

Nós não temos vocabulário, na linguagem usual, para os espaços tridimensionais que para os gregos
era uma questão singular, “o espaço“. A Matemática é o caminho abstrato para seguir avançando,
e vou usar como método a análise das interseções agora usando uma reta e um plano, dois objetos
de dimensões diferentes, completando os dois casos estudados acima.

Tenho então dois objetos, uma reta, r e um plano \pi,
e vou estudar as posições relativas deles, ou como a Matemática fala, as possibilidades
de interseção entre eles.

As possibilidades são:
O plano \pi e a reta r podem se interceptar segundo uma das seguintes maneiras:

  1. o vazio, o que significa que a reta r se encontra num plano paralelo
    ao plano \pi ,

  2. uma reta, o que significa que a reta é um subconjunto do plano \pi,
  3. um ponto, que tem dimensão zero.

Esta terceira possibilidade é intrigante, tenho dois objetos, um de dimensão 1 e outro de dimensão dois,
que se interceptam segundo um objeto de dimensão zero o que significa que a reta não é um subconjunto do
plano \pi e portanto se uma reta e um plano se interceptarem segundo um ponto
estes dois objetos determinam
o espaço“.

Confira que esta possibilidade está coerente com a segunda possibilidade em cada um
dos dois primeiros eventos:

  1. há muitos planos, uma infinidade,
    que passam pela reta r

  2. e nenhum deles pode coincidir com o plano \pi porque, do contrário eles
    levariam consigo a reta r e, por hipótese, eu estabeleci
    que entre a reta r e o plano \pi
    havia apenas um ponto em comum.

  3. fixe um qualquer destes planos que passam pela reta r , chame-o de \alpha.
    Vou aplicar as possibilidades de interseção entre dois planos a \pi e \alpha.
    Não pode ser vazia porque há um ponto em comum.
    Como eles não são coincidentes resta a possibilidade de que a interseção seja uma reta, e
    a conclusão anterior foi a de que tais planos determinam
    o espaço de dimensão três, “o espaço“.

Vimos, assim, que se dois objetos se interceptarem segundo a dimensão mínima se produzirá um
salto dimensional. Mas na Geometria Euclidiana um plano não pode interceptar outro plano
segundo um ponto porque se daria um salto de dimensão, para a dimensão quatro o que é
impossível na Geometria Euclidiana dos gregos, mas é possível na Geometria Euclidiana
da Matemática que então chamamos de espaço Euclidiano tridimensional
e lhe acrescentamos um adjetivo porque
nossa prisão tridimensional herdada da Geometria Euclidiana não criou palavras para
fazer referências a objetos de dimensão maior do que três: uma prisão cultural.

Num espaço euclidiano de dimensão quatro

As possibilidades de interseção de dois espaços de dimensão 3
é analisada de forma semelhante
como a que eu fiz no início com a discussão entre interseção
dos espaços de dimensão 1, as retas, ou
os espaços de dimensão dois, os planos.

  1. Eles podem ser paralelos, para cada espaço existe uma infinidade de deslocamentos paralelos
    do mesmo, como ocorre com as retas no plano. Isto corresponde à interseção vazia ou, no
    caso de coincidência, o próprio espaço.

  2. Eles se podem interceptar segundo um plano, e neste caso eles determinam o R^{4} .
    É interessante aqui observar a soma: 3 + 3 - 2 = 4 que corresponde às dimensões dos espaços.
    Esta fórmula é semelhante à fórmula que fornece o número de elementos na reunião de dois conjuntos, a justificativa vem dum belo teorema da Álgebra Linear (que tem raizes na Teoria dos Grupos), o teorema do núcleo e da imagem.
    Neste caso se diz que um plano e um espaço tridimensional determinam o R^{4}.

  3. Eles não se podem interceptar segundo uma reta porque 3 + 3 - 1 = 5 > 4 se ultrapassa
    a dimensão do R^{4}. É o mesmo que ocorre com planos no R^{3} a fórmula
    impede: 2 + 2 - 0 = 4 > 3 então a interseção de dois planos no R^{3} não pode
    ser um ponto.

  4. A interseção dum espaço tridimensional com uma reta pode ser um ponto 3 + 1 - 0 = 4
    em que aparecem as dimensões, do espaço tridimensional, da reta e do ponto que é a interseção.
    nesta ordem. Neste caso se diz que uma reta e um espaço tridimensional
    determinam o R^{4}.

Interseção de planos no espaço de dimensão 4

Este último caso é o que me interessa. Considere um espaço tridimensional é uma
reta r que se interceptam
num ponto. Este exemplo é interessante como o
caso da formiga
presa num círculo no plano que usei no livro Prisioneiros da terceira dimensão
como uma aproximação de prisão bidimensional, você pode ler o exemplo na versão preliminar do livro
ou em forma mais bonita na versão impressa.

O caso da formiga é o seguinte. Uma formiguinha,
sendo tão pequena pode ser considerada como um ser
bidimensional, isto é uma aproximação! Com frequência os professores pegam folhas de papel
em sala de aula como exemplos de um plano, novamente é uma aproximação,
o papel é tridimensional, uma
folha de papel é um paralelepípedo: tem comprimento, largura e altura.

Tome uma folha de papel e nela imprima um círculo com um repelente, algo cujo odor seja insuportável
para um formiga. Colocando a formiga dentro do círculo ela não consegue sair, mas você pode salvá-la
colocando uma palhinha que passe por cima da borda do círculo.
A formiga bidimensional entrou na
terceira dimensão e saiu do círculo que era uma garrafa fechada no papel bidimensional.

É o que ocorre com a reta que corta o espaço tridimensional segundo um ponto, na aproximação do caso
da formiga, a “palhinha” é uma curva, figura unidimensional, que sai do objeto bidimensional, o círculo
de repelente no papel, permitindo que o ser bidimensional, a formiga, passe pela terceira dimensão
para ganhar de volta a liberdade.

A reta com o espaço tridimensional determinam o
R^{4}.

Considere agora um plano
\pi cuja interseção
com a reta r seja a própria reta r. Quer dizer a reta está contida no plano
\pi. Tome um plano qualquer contido no espaço tridimensional, chame-o de \alpha.

A interseção destes dois planos é a mesma que a interseção do plano \alpha com
a reta r, um ponto.

A fórmula da soma de dimensões é 2 + 2 - 0 = 4, as dimensões dos dois planos, somadas
da qual foi subtraída a dimensão da interseção que não pode ultrapassar a dimensão do espaço.
A mesma fórmula nos diz que não é possível a interseção de dois planos, ser um ponto
na Geometria Euclidiana porque a soma ultrapassa dimensão do espaço.

Dois planos determinam o R^{4}

Da mesma forma como duas retas determinam o plano, as coordenadas cartesianas do plano, como
dois planos determinam o R^{4} posso fazer o mesmo que se faz com o plano e com as
coordenadas cartesianas agora com o espaço de dimensão quatro:
P = (x, y, 0, 0)  + (0, 0, z , w);  P \in R^{4}
para qualquer ponto P \in R^{4}. Hã algumas maneiras de fazer isto, por exemplo também
poderia ser

P = (x, 0, y, 0)  + (0, z, 0 , w);  P \in R^{4}
mas a anterior é mais “natural”.

Conclusão, no R^{4} a interseção de dois planos pode ser um ponto.

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