As potências de onze

As potências de 11

As potências de 11

O número 11 é bom para multiplicações, vira duas somas, e lembra as antigas
máquinas de calcular que haviam nos balcões das vendas de acessórios para
máquinas e material de consliução.


http://www.sobralmatematica.org/aveiro/libri/MaquinaCalcularBacao.png

As tais máquinas tinham duas teclas com setas para esquerda
ou para direita,
ao lado do teclado, que faziam o papel de ponto flutuante,
permitiam deslizar a escala para direita ou para a
esquerda, era o ponto flutuando, e correspondia a multiplicar por
10 ou dividir por 10. Confira na
figura
as teclas vermelha, à esquerda, com as setas.

Apertando as chaves laterais com o polegar
e o apontador se limpava a “memória”… e rodando a manivela,
à direita,
se fazia a multiplicação (soma repetida) ou divisão
(subliação repetida) conforme o sentido da rotação. Uma
máquina mecânica de multiplicar.

Multiplicar por 11 faz um efeito semelhante: 11*3457689 = 38034579


http://www.sobralmatematica.org/aveiro/libri/MultiplicacaoPorOnze.png

É o que você pode ver na figura, para efetuar a multiplicação por 11, basta escrever duas vezes
o multiplicando (o multiplicador é 11) um embaixo do outro mas jogando uma casa para esquerda
como faziam as máquinas de balcão se a gente apertasse as orelhas laterais.

Eu vou aplicar esta brincadeira nas potências de 11 e você vai ver como é fácil calcular qualquer
potência de 11. O melhor mesmo é que depois eu vou este exemplo para produzir uma
generalização: fazer o cálculo de qualquer potência de qualquer número! Se segure no pincel que
você vai ver como funciona!

As potências de 11

Neste figura

http://www.sobralmatematica.org/aveiro/libri/PotenciasDeOnze_7.png


voce tem o algoritmo agora aplicado às potências de onze. Basta copiar a linha anterior (a potência
anterior) jogando uma casa para à esquerda como na máquina de calcular de balcão, e soma coluna
por coluna, respeitando a regra da passagem para casa seguinte.

Vou repetir a tabela anterior com uma modificação, vou incluir nela uma linha vertical marcando
o expoente usado, eis o resultado

Agora vou fazer uma última modificação nesta tabela eliminando as repetições de linhas, na verdade
deixando somente as potências de 11,

olhe o resultado
.

A partir da linha de ordem 5 já não aparecem mais as potências de 11, é preciso aplicar-lhes
a regra da passagem para a casa seguinte, observe como é fácil fazê-lo:

 

  • 1 5 10 10 5 1 –> 161051 = power(11,5) a quinta potência de onze.
  • 1 6 15 20 15 6 1 –> 1771561 = power(11,6) a sexta potência de onze.
  • 1 7 21 35 35 21 7 1 –> 19487171 = power(11,7) a sétima potência de onze.
  • 1 8 28 56 70 56 28 8 1 –> 214358881 = power(11,8) a oitava potência de onze.
  • 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 –> 2357947691 = power(11,9) a nona potência de onze.

 

O triângulo de Pascal

Eu usei as potências de onze para que surgissem as linhas do chamado triângulo de Pascal,
denominado assim com o nome dum matemático francês do século 16 que trabalhou com
combinatória e redescobriu este algorítmo que já era conhecido dos chineses alguns
milhares de anos antes. É o

triângulo de Pascal que me interessa

Triângulo de Pascal

Triângulo de Pascal

Você pode obter o Triângulo de Pascal  para qualquer ordem n usando este programa que é distribuído com a licença GPL na versão que melhor lhe aprouver.

Agora vou mostrar-lhe como posso evoluir das potências de 11 para qualquer potência. Primeiro vou
passar por um produto notável (a + b)^2 e na verdade para (a + b)^{n} que vou
mostrar-lhe que se encontra associado ao Triângulo de Pascal. Depois vou tratar do caso dum
número qualquer. Vou finalizar lhe mostrando que você pode ter nas mãos uma maquininha para
calcular juros e assim evitar que lhe enganem com esta história de comprar com cartão de
crédito sem juros
, uma grande mentira.

Coeficientes das potências de (a+b) nas linhas do Triângulo de Pascal

Vou me referir ao triângulo de Pascal usando apenas a expressão triângulo, de agora
em diante, para simplificar a linguagem.

Se a potência for zero então (a + b)^{0} = 1. porque qualquer
número, exceto o zero, elevado a potência zero é 1. É primeira linha do triangulo.

Se a potência for 1 então
(a + b)^{1} = a + b e agora tenho que aplicar a convenção da Álgebra, quando não
aparecem coeficientes então o coeficiente é 1. Quer dizer que tenho:

(a + b)^{1} = a + b = 1a + 1b –> 1 1

em que eu destaquei, no final da linha, a a linha de ordem 1 do triângulo.

Se a potência for 2 então
(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} e agora aplicando a convenção da Álgebra, quando não
aparecem coeficientes então o coeficiente é 1. Quer dizer que tenho:

a^{2} + 2ab + b^{2} –> 1 2 1

e você vê, em destaque, no fim da linha os elementos da linha de ordem 2 do triângulo.

Calcule agora (a+b)^{3} vai fazer uma recordação das operações algébricas, hahahahaha! Mas
vai ver que estará fazendo o mesmo que eu fiz com as potências de 11, agora com pequenas modificações,
e aqui está o método de generalizações em Matemática: observar o que se faz para dar um salto
para obter uma nova regra.

  1. quando multiplicar por a sobem de uma unidade todas as potências de a
    no multiplicando.
  2. quando multiplicar por b sobem de uma unidade todas as potências de b
    no multiplicando.

Deixe-me
apresentar-lhe um esquema traduzindo as operações contidas

nas linhas acima:

  1. Foram calculadas sucessivamente as potências de (a+b)
  2. Depois de cada nova potência, repeti a linha contendo a + b
    e com ela obtive duas lihas. Na primeiro apliquei a regra da máquina de
    calcular jogando a expressão toda uma casa para frente.
  3. na segunda linha, depois de cada a + b eu mantive a posição
    da expressão, multiplicada agora por b
  4. Desta forma consegui que os termos semelhantes, contendo as mesmas
    potências tanto de a como b ficassem na mesma coluna.
  5. somei as colunas com os termos semlhantes obtendo a nova linha
    com nova potência de (a+b)

Mas tudo pode ficar mais simples, e este objetivo agora: obter o algoritmo simplificado.
O segredo vai ser olhar apenas para o triângulo como um conjunto de coficientes. Também
preciso duma notação que andei usando acima, vou designar as linhas do tringulo usando
as potências agora chamando-as de ordem.

  1. a primeiroa linha, tem apenas 1 é a linha de ordem zero, corresponde a potência zero.
  2. a segunnda linha, tem os coeficientes 1 1 é a linha de ordem um, corresponde a potência 1.
  3. a terceira linha, tem os coeficientes 1 2 1 é a linha de ordem 2, corresponde a potência 2.

Você deve observar que estou tomando como ordem a segunda coluna que aparece marcada na com
uma barra vertical
nesta figura
. É a ordem que corresponde à potência.

  1. A ordem aparece na segunda coluna ou na penúltima coluna.
  2. Cada linha do triângulo é simétrica, nas linhas de ordem impar, no centro há uma repetição
    de coeficientes: 1 3 3 1 na linha de ordem 3, ou na linha de ordem 1 que é 1 1
  3. Nas linhas de ordem par, os coeficientes crescem de 1 até atingir o máximo e depois
    decrescem até retornar ao 1. 1 2 1 na linha de ordem 2, ou 1 4 6 4 1 na linha ordem 4.

como usar os coeficientes para obter (a+b)^{n}

O método exposto acima conduzindo ao cálculo de (a+b)^{n} embora restrito às três
primeiras potências pode ser estendido a qualquer potência por indução finita. Não vou fazer
aqui esta demonstração porque entendo que é um simples exercício de indução finita.
As demonstrações por indução finita nem sempre são fáceis, mas este não é o caso.

Mais importante mesmo é identificar uma fórmula para os coeficientes que aparecem na linha de
ordem n do triângulo. Tenho uma forma rápida para chegar nesta fórmula, mas
que depende dum outro resultado. Vou ainda assim usar este método.

As potências de (a+b)^{n} se aplicam quando $a = b = 1$ então qualquer linha do triângulo
soma 2^{n} ora este é exatemente o número de subconjuntos dum conjunto com n elementos
então

Por outro lado, dado um conjunto A
com n elementos, o símbolo C_{n}^{p} representa
a quantidade subconjuntos com p elementos que podem ser extraídos de A,
então a linha de ordem n do triângulo contém os n+1 símbolos C_{n}^{p}
quando p varia de zero a n:

\sum\limits_{p=0}^{n} C_{n}^{p} = 2^{n}

Ou seja, na linha de ordem n do triângulo se encontram os números combinatórios de
ordem n.
A soma destes símbolos é, pelo Binômio de Newton, o desenvolvimento de (a+b)^{n} com o
coeficiente C_{n}^{p} aplicado ao termo a^{n-p}b^{p}.

Dado um número R qualquer, ele sempre pode ser escrito na forma R = (a+b)
em que a,b podem ser escolhidos de forma interessante pensando na expressão a^{n-p}b^{p}.
Por exemplo, e é esta aplicação que desejo dar, no cálculo de juros se tem a expressão
1 + j em que j representa um percentual e (1 + j)^{n} é o coeficiente
multiplicativo a ser aplicado ao capital para determinar a capitalização a juros compostos
ocorrida depois dum período de $n$ etapas de tempo (nomalmente meses).

Este é o coeficiente para determinar quanto lhe estão cobrando de juros num produto que lhe dizem
estar sendo vendido em n vezes sem juros.

#ForaTemer

Prisioneiros da Terceira dimensão e para marcar, #ForaTemer o traidor da pátria (um deles).

 

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