Um número real é uma classe de equivalência de sucessões de Cauchy

Número reais

Um número real é uma classe de equivalência de sucessões de Cauchy

Embora esta definição possa, inicialmente, parecer
esdrúxula, é precisa e exata. Compare com um número racional, que também
é uma classe frações equivalentes, embora não seja isto dito com
frequência. Em geral se diz, erradamente, que um número racional é uma
fração \frac{p}{q}; q \neq 0, quando na verdade é uma classe de
equivalência de tais frações.
Da mesma forma um número real é uma classe de equivalência de sucessões
de Cauchy um dos exemplos mais fáceis é o caso de raiz de dois>
ou do \pi.
O caso do   \pi possivelmente é mais simples do que
  \sqrt{2}, porque uma aproximação para   \pi pode ser obtida com
polígonos regulares convexos inscritos num círculo de raio   1, a
sucessão dos perímetros destes polígonos é uma sucessão crescente
para o limite que é   \pi. Outra forma de obter uma aproximação
consiste de usar polígonos regulares circunscritos a uma circunferência
de raio   1, que produz uma sucessão convergente, por maior,
para   \pi, resulta numa sequência decrescente para o limite que
é   \pi. Aqui você vê duas sucessões de Cauchy, que têm o mesmo limite,
consequentemente duas sucessões de Cauchy equivalentes, dois exemplos
da classe designada pelo símbolo   \pi.
Qualquer sucessão
convergente de números racionais é uma sucessão de Cauchy.
Para   \sqrt{2} se pode usar o algoritmo do cálculo da raíz escolhendo-se
ora uma casa inferior ora uma cada superior, no algoritmo, para
obter duas sucessões equivalentes que convergem para   \sqrt{2},

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, \dots

  2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 1.41422, 1.414214, \dots

Uma introdução à construção dos números reais

Esta é uma introdução à construção dos números reais, uma das três mais
conhecidas que é a minha preferida: via sucessões de Cauchy. Fazendo uma
rápida defesa das sucessões de Cauchy,
ou melhor do teste de Cauchy
este teste provê uma aproximação
para um número real com o erro estipulado   \epsilon:
  \forall \epsilon > 0; \exists N \in \mathbf{N};
  n,m > N \rightarrow  \| x_{n} - x_{m} \| < \epsilon
querendo parar o processo de construção dum número real com
precisão   \epsilon basta descobrir   N \in \mathbf{N}
do teste de Cauchy,
então qualquer   x_{n}; n > N
é uma   \epsilon aproximação para o número real
procurado. Portanto um método prático e não um difícil método
teórico como algumas vezes é pintado o método de Cauchy.
Os passos desta construção eu vou apenas mencionar como uma lista
de exercícios, não muito fáceis, para a leitora interessada:

  1. O conjunto de todas as sucessões de números racionais, seja
      R este conjunto, é uma algebra com divisores de zero.
  2. O conjunto de todas as sucessões que convirjam para zero (logo
    sucessões de Cauchy) é um ideal maximal desta álgebra   R.
    Deixe-me chamar este ideal maximal de   r_{0}.
  3. O quociente por um ideal maximal, duma álgebra, é um corpo,
    neste caso o corpo dos números reais:   R/r_{0} = \mathbf{R}.

Dificil situação das propriedades do limite no Cálculo

Uma das consequências desta construção são as propriedades do
limite que se tornam óbvias
neste contexto e praticamente impossível de serem demonstradas,
como se pretende, no Cálculo Diferencial e Integral a não ser que
os exercícios acima sejam feitos.

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