A fórmula de Euler

A fórmula de Euler nada mais é do que uma descrição do círculo
trigonométrico que foi notável na época em que foi descoberta
porque o circulo trigonométreico é um subgrupo multiplicativo do grupo multiplicativo dos complexos sem o zero e a teoria
dos grupos ainda não havia sido inventada. Isto faz da fórmula de Euler uma invenção magnífica.

Euler escreveu uma fórmula e eu não sei a história de como ele a
obteve e vou seguir da conhecida fórmula e certamente inventar uma história para inseri-la no contexto. Oxalá algum crítico corrija a minha maneira de ver e recomponha a a parte histórica que vou deixar de lado. A magnífica fórmula é

e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha) \rightarrow  e^{i\pi} + 1 = 0;

Escrevendo o número complexo desta equação
como um par de número se tem um ponto sobre o círculo trigonométrico como
consequência da fórmula fundamental da trigonometria. Mas à esquerda
na equação se encontra uma
operação de exponenciação envolvendo o
número de Néper o que torna a fórmula de
Euler realmente intrigante.

Vou terminar este artigo com o cálculo da derivada das funções \sin, \cos
que no meu entender justificam uma reengenharia do Cálculo tarefa em que
estou atualmente empenhado. Confira a seguinte sucessão de equações com
os comentários que farei em seguida:

h(t) = e^{it} = (\cos(t) + i\sin(t)) \approx (\cos(t) , \sin(t))

h'(t) = ie^{it} = i(\cos(t) + i\sin(t)) = (-\sin(t) + i\cos(t)) =
= (-\sin(t) , \cos(t));

\frac{d \cos(t)}{dt} =  -\sin(t); \frac{d \sin(t)}{dt} =  \cos(t);

Obtive assim com uma simples comparação entre vetores
a derivada das funções \sin, \cos de uma forma limpa e rápida e sem os
artifícios cabulosos com que consegue calcular estas derivadas na maioria
dos livros de Cálculo.

Confira http://www.sobralmatematica.org/preprints/2019/preprint_2019_05.pdf

Deixe um comentário

Preencha os seus dados abaixo ou clique em um ícone para log in:

Logotipo do WordPress.com

Você está comentando utilizando sua conta WordPress.com. Sair /  Alterar )

Foto do Google

Você está comentando utilizando sua conta Google. Sair /  Alterar )

Imagem do Twitter

Você está comentando utilizando sua conta Twitter. Sair /  Alterar )

Foto do Facebook

Você está comentando utilizando sua conta Facebook. Sair /  Alterar )

Conectando a %s

Este site utiliza o Akismet para reduzir spam. Saiba como seus dados em comentários são processados.