Os números

Escrevi, e publiquei uma monografia que tem objetivos mais audazes por trás, mas neste momento pode ser uma exposição no sentido de que me exponho na esperança de colaboração.

http://www.sobralmatematica.org/monografias/2020/monografia_2020_01.pdf

Esta monografia tem a pretenção de se transformar num livro,
pretensiosa! Entretanto o seu futuro ainda vai ser menos inglório uma
vez que o autor pretende transformá-la no primeiro capítulo dum livro
de Cálculo. Seria o capítulo sobre os números que são os objetos básicos
do Cálculo. Na verdade os objetos básicos do Cálculo são as funções porque
o Cálculo tem duas ferramentas principais, a derivada
e a integral que atuam sobre as funções e não sobre os números. E Cálculo é calcular integrais e derivadas!

Mas o Cálculo também lida com uma ferramenta que é necessária às outras duas importantes ferramentas a que me referi no parágrafo anterior, o
limite. O cálculo dos limites é outro dos terrores
que as estudantes de Cálculo enfrentam, na verdade um terror produzido,
porque calcular limites, por um lado é difícil, e por outro lado esta
dificuldade pode ser atenuada com algumas técnicas mais avançadas, então, porque não avançar primeiro para depois fazer os cálculos de forma mais fácil? Eu estou seguindo esta linha de trabalho. E aqui eu tenho um segredo neste processo, um número real é um limite e no nível do Cálculo, limite é número real. Inclusive as “propriedades dos limites” nada mais são do que as propriedades dos números reais coisa que é omitida nos livros de Cálculo.

Os cinco primeiros capítulos são sobre a construção dos números. Acho que
ficou faltando exercícios e ainda vou fechar esta lacuna, quando a
monografia virar livro! Mas está no ponto de fazer referência
ao último capítulo que é um tanto diferente dos demais, é uma lista de
exercícios. Em princípio os exercícios são aplicação direta dos cinco
primeiros capítulos, mas há exceções. Se você achar que algum exercício
é difícil, muito provavelmente ele estará fora do contexto. E eu
tenho em mente um deles que seguramente está fora do contexto, mas vou
deixar que você mesmo o descubra, até porque pode não estar fora do
contexto para si! Este exercício a que me refiro é exatamente
o nó que me faltava para me decidir por este livro de Cálculo, com ele
eu estou renovando o ensino do Cálculo, ele diz respeito ao
cálculo da derivada do seno que é uma dos entraves de goela do ensino do Cálculo e que eu descobri uma forma simples de fazer esta demonstração. Demorei dois ou três anos para descobrir e você pode ver que é uma bobagem ancorada na descoberta que Euler e De Moivre fizeram de forma independente no século 18. Eu não sei exatamente a história
da fórmula de De Moivre que é a expressão
complicada da fórmula de Euler e esta historia precisaria ser contada.
Eu defino a fórmula de Euler como uma invenção, foi como Euler abriu o caminho para a construção da exponencial complexa, e ela vai abrir o caminho no terceiro volume do meu livro de Cálculo para uma simplificação imensa de muitos dos cálculos que apertam as estudantes. É isto que entendo que marca o meu livro e que me encorajou a escrever um novo livro sobre esta disciplina sobre a qual existem possivelmente milhares de livros escritos. Mas não é só a derivada do seno, o simples uso dos números complexos vai tornar muita coisa trivial e fórmula de Euler-De Moivre cai dentro dos números complexos.

Eu não estou só neste método, sei que outros autores brasileiros já
trilharam o caminho que estou trilhando e seguramente eu preferia que este livro fosse de vários autores, e com certeza seria melhor do que um livro dum único autor. Esta talvez seja a principal ideia sobre a publicação
de uma monografia em que eu estou me expondo e expondo a ideia. Quiças me convidam para um trabalho comum!

http://www.sobralmatematica.org/monografias/2020/monografia_2020_01.pdf