O raio e a tangente são perpendiculares no círculo

Há conceito com os quais a gente convive e aceita sem discussão, este do titulo é um deles assim como outro relacionado que é da orientação positiva no círculo trigonometrico ser o anti-horário. Os dois saem fácil calculando a derivada implícita e depois aplicando a fração de Leibniz que não é nenhuma fração mas que funciona como se fosse e está ligada a uma praga dos cursos de Cálculo que são os infames infinitésimos.

Há várias demonstrações que encontrei na Internet, todas semelhantes a que encontrei na khanacademy usando que o comprimento do segmento de reta que parte dum ponto para uma reta, perpendicularmente, é a distância do ponto à reta e logo que o raio é perpendicular à tangente,

Mas esta “demonstração” se aplica a qualquer curva diferenciável e convexa entre as quais o círculo é única porque o centro é o ponto equidistante da curva convexa que é a sua fronteira e isto é a definição do círculo. Então não há o que demonstrar nesta propriedade, ela é a própria definição do círculo. Aproveitei para falar variedades, hiperplanos e chego na expressão do
raio tangente à esfera.

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