Teoria das cordas

A teoria das cordas apareceu na Física em 1919, citam alguns textos de físicos, mas foi Polyakov que em 1981 ressuscitou a teoria num artigo publicado na Physical letters. Eu não vou descrever a teoria em profundidade mas no formato de divulgação científica eu vou mostrar qual é a ideia central da teoria que os físicos consideram uma teoria unificadora.

uma superfície gerada por cordas

http://www.sobralmatematica.org/preprints/2021/preprint_2021_07.pdf

Raízes dum número complexo

Calcular raízes é um processo difícil, eu nem me lembro do algoritmo que estudei no primário, claro, no primário porque tenho 77 anos se chama assim a primeira escola que tínhamos, funcionando em grupos escolares, uma escola pública de qualidade quando os governantes tinham um pouco de respeito pela Educação.

Mas calcular as raízes dum número complexo é barbada, então a gente pode fazer isto usando um método geométrico que até torna a coisa divertida.

Eu me inspirei neste texto num fórmula que aparece na página 103 do fenomenal livro de Roger Penrose que tem um título grandioso que me fez torcer o nariz assim que vi o livro, “Road to the Reality” com um subtítulo ainda mais imponente, “A complete guide to the Laws of the Universe”. Fica a sugestão para leitura, com um alerta, tente apenas se quiser fazer as contas que ele deixa para trás, apesar de que ele sugere que isto é desnecessário, muito se perde em não o fazer.

Mas para a curiosa que se pergunta se vale a pena calcular raízes de números complexos, deixo uma dica. As raízes do número complexo z = a+bi são os vértices dum polígono regular convexo inscrito num círculo que tem por raio a raiz do módulo |z| deste número. Apenas você tem que encontrar a primeira raiz para nela posicionar um dos vértices do polígono para ter todas as outras raízes nos demais vértices.

As raízes cúbicas do número z

Eu fiz todas as contas, você precisa apenas acompanhar. Você pode querer ler sobre logaritmo.

Em especial homenagem ao mártir da Pátria, Tiradentes, num momento em que milhares de traidores da Pátria tentam destruir o Brasil.

O teorema de Pitágoras pode ser falso

Deixe-me começar com um exemplo, ou uma pergunta: você considera que
o teorema de Pitágoras seja uma verdade, ou verdadeiro? Afinal ele é ensinado nas escolas, talvez ainda seja falado no ensino fundamental que quando eu comecei a estudar era o primário. Ele estabelece uma regra para determinar-se se um triângulo com lados a,b,c em que c é o maior lado, seja um triângulo retângulo, certo?

Então numa casa se levanta, dum lado uma coluna perpendicular ao solo. Para fazê-lo os pedreiros não usam esquadros, eles preferem usar o prumo que é um peso preso a um cordão passando pelo furo dum cubo, que devido à
força da gravidade força que o fio fique na perpendicular. Então eles copiam a direção do fio para construir uma parede ou uma coluna.

Na figura você pode ver uma estrutura que foi montada por um engenheiro recém formado que mandou o
pedreiro montar as quatro colunas e a viga num molde que ele havia mandado construir no chão para depois fazer a montagem da casa mais rapidamente, uma tentativa de construção pré-moldada. O pedreiro achou estranho que ele
insistia falando do teorema de Pitágoras a partir do qual calculou meticulosamente as caixas de moldagens para colunas e vigas. Depois com um guindaste foi colocando as peças no lugar mas a viga não encontrou sustentação
entre as duas colunas tudo calculado com o teorema de Pitágoras.

Esta é uma história inventada, e as construções pré-moldadas existem e funcionam, mas as peças não são calculadas com teorema de Pitágoras porque a geometria da superfície da Terra não é a geometria euclidiana que tem o teorema de Pitágoras por base. As colunas que foram colocadas perpendicularmente ao solo, não são paralelas entre si, e
numa pequena construção a diferença é muito pequena a ponto de que se possa usar o teorema de Pitágoras com segurança. Porque a Terra é redonda, a Terra não é plana, e o teorema de Pitágoras não é verdadeiro para
a geometria da Terra. Então o teorema de Pitágoras é falso?

Uma demonstração do teorema de Pitágoras usando classificação de figuras geométricas.

No livro Road to reality, Roger Penrose sugere um interessante caminho para demonstrar o teorema de Pitágoras baseado numa propriedade universal da categoria dos triângulos retângulos. A área dum triângulo retângulo é um múltiplo do quadrado da hipotenusa. Neste artigo eu estou descrevendo detalhadamente a demonstração.

Os objetos da Matemática se classificam e se agrupam em categorias isto é uma teoria que estendeu a teoria dos conjuntos e que inclusive teve uma influência significativa na ciência da computação em que os objetos ou mais recentemente “modelos” com uma generalização dos objetos são uma aplicação das categorias da Matemática.

Eu descrevi de forma simples uma classificação dos triângulos do plano, da Geometria Euclidiana e a partir desta classificação eu preenchi os detalhes do caminho que Penrose apontou. O projeto de Penrose tem dois parágrafos e gastei cinco dias para detalhá-lo, mas acho que valeu a pena o esforço.

A classificação dos triângulos tem uma figura simples

Observe que o ponteiro P se move em um intervalo do círculo trigonométrico indexando simultaneamente três tipos de classes. a classe do tipo acutângulo, a classe do tipo retângulo e a classe do tipo obtusângulo.

Uma classificação para os triângulos do plano

A Matemática trabalha com categorias de objetos, isto é um projeto que foi iniciado em 1940 quando os dois autores do projeto, MacLane e Eilenberg, numa espécie de discredito para a grande classificação que estavam criando, apelidaram o artigo em que descreveram o que seria Teoria das Categorias, como general abstract non-sense.

Depois a ideia pegou fogo e a Teoria das Categorias é hoje uma super teoria dos conjuntos tendo inclusive influenciado a teoria da computação onde um objeto tem significado semelhante que uma categoria tem para a Matemática.

Eu consegui uma classificação simples para os triângulos do plano descrita geométricamene na figura abaixo.

A figura mostra três tipos de classes, o tipo triangulo acutângulo, o tipo triângulo retângulo e o tipo triângulo obtusângulo. A descrição completa você encontra aqui.

Splines a suporte compacto e solução aproximada de ode

Neste artigo estou mostrando um exemplo de construção dum
splines a suporte compacto e mostrando como obter uma solução
aproximada duma equação diferencial linear de ordem n sem
entrar no detalhe que passaria por resolver uma equação linear
algébrica de ordem n sem acrescentar nenhuma novidade a questão.
O objetivo aqui é apenas mostrar que posso obter uma solução
particular dum equação diferencial linear
de ordem n em que esta ordem é qualquer.

Como foi que Euler inventou a exponencial complexa

Eu escrevi sobre números complexos, até para tentar tirar o complexo que muita gente tem sobre estes números tão geométricos.

E no final eu mostro como Euler inventou a exponencial complexa enquanto um outro cara, De Moivre, demonstrou a existência da exponencial complexa fazendo contas muito intricadas.

De Moivre e Euler viveram com uma diferença de 50 anos, De Moivre morreu 50 anos antes que Euler, quando este deveria estar com seus 45 anos. De Moivre era um francês vivendo de aulas particulares em Londres e reconhecido por Newton como um cara que sabia coisas. Mas Euler ganhou em simplicidade.

criptografia é um método matemático da computação para tornar dados secretos.

O matemático e teórico da computação, Alan Turing, que fez vários trabalhos em computação teórica, em particular ficou muito conhecido por um algoritmo
chamado máquina de Turing, trabalhou
durante a segunda guerra mundial para quebrar o segredo da criptografia
da máquina alemã, Enigma, o que conseguiu com êxito.

Eu escrevi dando alguns exemplos, e inclusive
mostrando dois programas escritos em Python que podem ser usados
como exemplo da máquina criptográfica alemã. Os meus programasnão
estão funcionando corretamente, e eu os publiquei mesmo assim, dentro
do espirito de quem escreve programas de domínio público, é possível
que alguém se interesse e me ajude a corrigi-los. Também mostro
um programa que funciona indicando a fonte de como usá-lo.

Divirta-se na quarentena, não dê ouvidos ao psicopata que os milicos enfiaram no Planalto e que anda incitando a população a sair às ruas para se contagiar. Aprenda um pouco sobre criptografia e se lhe parecer interessante, tente o corrigir o meu programa que não está funcionando corretamente, me envie suas sugestões que podem ser postadas aqui na página.

O teorema fundamental dos morfismos

Apresento uma demonstração baseada na categoria Ens e do objeto
universal desta categoria para teorema fundamental dos morfismos.

Estou apresentando uma demonstração curtíssima do <em teorema
fundamental dos morfismos /em> para a qual eu não encontrei semelhante,
e as que eu conhecia eram bastantes complicadas.
O artigo surgiu exatamente desta busca, quando eu quis fazer uma
demonstração deste importante resultado e me deu muito trabalho
construir a demonstração, quando repentinamente me veio a ideia
fundamental de pensar nas classes de equivalência do
<em morfismo /em> f como função e comparar com as <em classes
laterais /em> geradas por ker(f).

O teorema fundamental dos morfismos, muito mais conhecido como <em teorema fundamental dos homomorfismos /em> estabelece que o núcleo dum morfismo de grupo é um subgrupo normal. Este teorema é fundamental em diversos momentos, em muito particular na teoria dos aneis quando um ideal é um subgrupo normal no caso trivial, dum grupo comutativo.

Haskell, uma linguagem de programação funcional

Esta é uma descrição, uma introdução, à linguagem de programação
Haskell, na verdade escrevendo para aprender. Existem algumas
linguagens de programação que são bem teóricas do ponto de
vista da ciência da Computação, entre estas se encontram
os diversos dialetos de<code>LISP, Haskell e Forth</code> que se destacam
de todas as outras que formam o grande padrão <code>C++, C,
Java, Python</code>. <code>Haskell e Forth</code> são ditas puramente
funcionais. <code>LISP</code> é um caso a parte, foi uma invenção
dum matemático John McCarthy, é uma linguagem matemática.

Para excitar o seu interesse, deixe-me dar-lhe dois exemplos e depois vou lhe passar o link para o artigo.

O primeiro exemplo é um programa escrito em <code>calc</code> que é muito semelhante ao seu equivalente escrito em <code> C, C++, Python</code>. O segundo exemplo é o mesmo programa escrito em <code> haskell</code>

define f(x) {return power(x,2);}

define riemann(a,b,n){
local soma=0, delta = 1.0/n;
while(a<b){
soma +=f(a);
a+=delta;
}
return soma*delta;
}

a=0; b=1; n = 10000;

riemann(a,b,n);

quit

O programa equivalente, escrito em <code>haskell </code> ẽ

f x = x^2

dom a b delta = [a,delta .. b]

riem f a b delta = delta * sum [f x | x <- dom a b delta]

Três linhas, e basta trocar a definição de f por outra qualquer função numérica que tenha uma sintaxe “algébrica”, ou definí-la no mesmo “notebook” e você pode calcular aproximadamente a integral da nova função, digamos que seja g

riem g a b delta = delta * sum [f x | x <- dom a b delta]

Em <code>Python</code> também posso fazer isto, porque também é uma linguagem mista, funcional, procedural.

Mas leia o artigo! E faça as experiências que alí estão sugeridas, e talvez você se torne um <code>haskell programmer</code> como eu estou caminhando para ser.