Exercícios de Matemática

Vou postar aqui exercícios que alunos ou colegas me proponham para resolver. Também recebo problemas interessantes resolvidos, para publicar. Me envie para

tarcisio at member dot ams dot org
e eu analiso se deve ser publicado nesta seção.

Visite também as minhas páginas de Cálculo I e de Cálculo II se estiver interessado em exercícios de Cálculo, aqui. Não tenha dúvidas de que as críticas serão bem recebidas.

A partir do problema 17 eu vou inverter a ordem dos problemas,
o 17º vai aparecer no topo e sempre o mais recente ficará no começo.

Tenho recebido alguns realmente interessantes e vão ficar aqui para consulta. Pode ser que esquente o debate, por exemplo, soluções melhores que as minhas! Também vou deixar
problemas sem solução para quem quiser tentar.

No momento em que você estiver lendo eu posso estar resolvendo um problema mais
difícil, seja bem vindo com uma sugestão se
ela se enquadrar no raciocínio que eu estiver
desenvolvendo.
Seria um bom trabalho de equipe.

Pode ser qualquer tipo de questão, depende apenas
do interesse dos usuários desta página.


O próximo é o 22º

quando alguém me propuzer algum. Agora é o 21º.

 


Lei do seno

\def\R{\mathbf{R} } \def\N{{\mathbf{N}}}
\def\S{{\mathbf{S}}^{1}}

Lei do seno num triângulo inscrito em \S

Como três pontos determinam um círculo, dado um triângulo qualquer,
PQR,
confira
a figura

Lei do Seno

Lei do Seno


Lei do Seno

vou
considerar este círculo como sendo o círculo trigonométrico, \S.

Estou usando o teorema seguinte:

Teorema:

representante em \S

Para qualquer que seja o triângulo PQR, existe
uma sua representação inscrita no círculo trigonométrico, \S,
e um número \rho
que é o coeficiente de proporcionalidade entre os lados homólogos
do triângulo original PQR e sua representação em \S.


Demonstração:

Dado um triângulo qualquer PQR, seja \mathbf C o círculo de raio R
determinado
pelos pontos P,Q,R, nesta ordem. Porque três pontos não colineares
determinam de forma única um círculo,
e mesmo colineares, então o resultado é uma reta que é um círculo cujo
raio é infinito….

Execute duas operações geométrico-numéricas.

  1. Divida \mathbf C por R, obtendo um círculo de raio 1,
    {\mathbf C}´
  2. translate {\mathbf C}´ de modo que seu centro coincida com
    a origem dos eixos.

O resultado destas duas operações é \S, o círculo trigonométrico, com
um triangulo inscrito que é semelhante ao triângulo primitivo PQR.
O coeficiente de proporcionalidade entre os lados homólogos destes dois
triângulos é \rho = R, o raio do círculo primitivo.

Fim da demonstração

Ou
seja, podemos projetar qualquer triângulo em \S, de forma a ter uma
representação do mesmo como
um triângulo inscrito no círculo trigonométrico: um triângulo equivalente ao original,
inscrito no círculo trigonométrico. Este teorema ainda significa que todos os possíveis
triângulos do plano estão representados em \S
.

Confira a figura

Lei do Seno

Lei do Seno



em que o triângulo está inscrito no círculo trigonométrico
\S,
e passo a chamar de PQR à representação
do triângulo original em \S.

Os lados do triângulo são as cordas,
\overline{PQ}, \overline{QR},
\overline{RP},
que determinam em \S
os arcos
\alpha, \beta, \gamma.

As cordas medem, respectivamente,

a= 2*\sin(\alpha); b = s*\sin(\beta); g = 2*\sin(\gamma)

porque o arco determinado no círculo pelo ângulo inscrito sobre o círculo
mede o dobro do ângulo.

Vou mostrar-lhe como provar isto usando a figura

Usando compasso para transmitir distâncias

Usando compasso para transmitir distâncias

  1. Trace círculos com raios iguais em R e em P.
    Para fazê-lo copie o segmento \overline{RP} montando um paralelograma,
    e leve cada uma destas cópias para os pontos R,P.
  2. a reta s que passar
    pela interseção destes círcuilos,
    corta a corda RP perpendicularmente no ponto médio
    sendo então a mediatriz da nova versão do ângulo \gamma obtido ligando
    R e P ao ponto em que esta reta corta \S.
  3. c é o dobro do \sin(\gamma)= logo

    \frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{2\sin(\gamma)}{\sin(\gamma)} = 2;

Na figura anterior está detalhado o
caso do ângulo \alpha .

No caso dum triângulo retângulo, PQR,
inscrito em \S,
retângulo em Q, \gamma= \frac{\pi}{2},
a hipotenusa, \overline{RP} mede
c = 2, o tamanho do diâmetro do
círculo trigonométrico, porque o arco que este ângulo subentende é
2\gamma = \pi.

Demonstrei assim a lei do seno

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{g}{\sin(\gamma)} = 2

para o círculo trigonométrico. Como as medidas dos lados no
triângulo original são recuperadas com
o produto por R, o raio do círculo original, então a
expressão da lei do seno, para um triângulo inscrito num círculo
de raio R será

\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{g}{\sin(\gamma)} = 2R
= D;

em que D= 2R é o diâmetro do círculo em que
o triângulo estiver
inscrito.

O valor comum destas razões dependem do raio do círculo em que o triângulo
estiver inscrito, um resultado colateral da lei do seno é o
valor do raio R dum círculo
onde um triângulo estiver inscrito.

A figura

Imagem do programa LeiSeno.py

Imagem do programa LeiSeno.py


mostra um exemplo de triângulo inscrito em \S.
O gráfico foi obtido com o programa LeiSeno.py que pode ser baixado
da página

http://www.calculo-numerico.sobralmatematica.org/programas/LeiSeno_py

Este programa permite que você
selecione valores arbitrários, dentro de \S,
para os ângulos \alpha, \beta, \gamma \in \S, e vai
lhe fazer o gráfico do triângulo inscrito em \S com estes ângulos. O
programa também calcula o valor das razões na lei do seno.

Nesta versão, o programa somente “sabe” trabalhar em
\S mas eu espero completar o programa para
receber três pontos não colineares no plano, construir o gráfico calculando
o raio do círculo em que o triângulo está inscrito. Não é difícil, basta
resolver um sistema de equações usando a equação geral do círculo. Aceite o
desafio, complete o programa e o envie para mim, eu o publico com seu nome
como co-autor.


20º Problema: Um sistema de equações no anel Z9

Alguém solicitou-me que resolvesse o sistema

Um sistema de equações

Um sistema de equações

Esta questão merece alguma atenção porque ela produz
um exemplo de uso das propriedades da aritméticas num contexto em que
não é possível usar os truques habituais como “trocar sinal” ou
“passar um termo para o outro lado” forçando o uso
das propriedades da aritmética.

Começo corrigindo a equação tentando interpretar o sentido
que quiseram
dar à mesma, a equação se encontra no texto de uma prova.
Esta equação
está impropriamente redigida uma vez que contém o coeficiente
-5 que
não é um elemento de ze_nove. O autor da questão,
provavelmente,
queria
se referir ao inverso aditivo de 5 neste anel, que é 4,
e então a equação deve
se apresentar como
exercicio20_03
para que seja uma equação do anel
ze_nove.

Aqui se aplicam as propriedades comuns
da aritmética para resolver um sistema, as mesma usadas no anel
dos inteiros ou dos números reais:

exercicio20_04

exercicio20_05

exercicio20_06
exercicio20_07

Para fazer estas contas mais rápido e com segurança,
escrevi um programa em calc criando a tabela
de multiplicação de ze_nove.

Eis o programa que você pode raspar e colar num terminal
e voltar a rodar usando calc, ou modificá-lo
para construir a taboada de multiplicação de outro anel
dos inteiros módulo n para o valor que você desejar. Se n
for muito grande a tabela vai perder o formato…

## A multiplicação de Z_9
define f(x,y) {return (x*y)%9;}

## produção da tabela multiplicativa de Z_9

  • define tabela(){
  •  local x = 0;
  •   while(x < 9) {
  •     local y =0;
  •    while (y<9) {
  •     printf(“%d*%d = %d; “,x,y,f(x,y));
  •     y++;
  •    }
  •  printf(“\n\n”);
  •  x++;
  •  }
  • }

## o programa

    • define main(){
    •  system(“clear”); ## limpa a tela
    •  printf(“\n\n”); ## imprime duas linhas em branco
    •  tabela(); ## produz a tabela multiplicativa de Z_9

}

main(); ## roda o programa

A taboada de multiplicar em

produzida por este programa é

tabelaZ_9


19º Problema proposto pelo Professor
Adriano Carneiro;

Seja N = abcabc, um número de 6 dígitos (a ≠ 0).
Qual a probabilidade de N possuir somente 3 fatores

Minha resposta:

Como abcabc = abc(1001) e 1001 = 7*11*13 então a probabilidade é zero
porque há 4 fatores abc, 7,11,13


18º Uma questão de teoria dos números

MDC(\frac{a^{2n+1} + 1}{a+1}, a+1) = MDC(a+1, 2n+1)
Este exercício me foi proposto por Adriano Mesquita Ximenes e comecei pensando que
estivesse errado, mas fiz algumas simulações usando calc que indicou estar correta
a questão. Foi quando tentei resolvê-la.

Como sempre, a solução que apresento não reflete o caminho que percorri para resolver,
ela se encontra arrumada de uma forma lógica depois de diversas tentativas “aleatórias”
para encontrar uma saída.

Lema 1
Se Q(x) = x^{2n+1} + 1 então x+1 divide Q(x)

Lema 2
Q(x) = P(x)(x+1)
É consequência direta do Lema 1 mas é interessante obter a expressão
de P(x) que rapidamente aparece nas primeiras tentativas da divisão de Q(x) por x+1.

P(x)=x2n – x2n-1 + … -x3 + x2 -x + 1
sendo portanto uma soma de potências da variável x tendo sinal negativo quando a potência for
impar. P(-1) é o resto na divisão de P(x) por x+1 portanto

Lema 3
O resto na divisão de P(x) por x+1 é 2n+1.
Porque P(x) tem 2n+1 termos e P(-1) é soma de números positivos (a potência impar tem sinal
negativo).

Lema 4
Se o resto na divisão de A por B for C então MDC(A,B) = MDC(B,C)
Porque:

Pelo algoritmo da divisão euclidiana
A = Bq + C
Então C = A – Bq (1)
Chame MDC(A,B) = R então R é menor ou igual ao resto na divisão de A por B,
R é menor ou igual a C (2)
Chame MDC(B,C) = R1 então R1 divide B e divide C e por (1) divide também A sendo
um divisor comum entre A,B então R1 é menor ou igual a R. (3)

Como R1 é o MDC(B,C) e como R divide C (por (1)) então R é menor ou igual R1 (4).

Por (3) e (4) MDC(B,C) = R1 = R = MDC(A,B).

A solução da questão sai como corolário: O resto na divisão de P(x) por x +1
sendo 2n+1
então o MDC(P(x),x+1) = MDC(x+1, 2n+1).

Mas eu suspeito que deve haver uma outra solução para esta questão porque eu não usei
o formato da expressão de Q(x) a não ser indiretamente. Deve haver uma solução mais
curta e provavelmente muito mais bonita do que esta.

17º A integral de uma função do primeiro grau

Vou começar estabelecendo a linguagem do problema.

f(x) = m(x-c) + d

é uma função do primeiro grau que tem por raíz o número real c.
A questão se põe agora assim:
\int\limits_{a}^{x} f(t) dt
é uma função do segundo grau.
A forma como estou entendendo, neste momento, a integral, é geométrica, quer dizer, a integral representa a área algébrica delimitada pelo gráfico de f entre os dois pontos a, x que aparecem como “limites” de integração.
Também posso dizer, a área algébrica delimitada pelo gráfico de f
sobre o intervalo de integração [a,x].
Neste caso um dos limites de integração é uma variável portanto a integral não é mais um número mas é uma expressão aberta que define uma função:
F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt

A escolha da letra F para representar a nova função é um hábito na literatura matemática, em algum momento você vai ver que estas duas funções se ligam pelas frases:

  • F é uma primitiva de f
  • f é a derivada de F

e observe o artigo indefinido em uma das frases acima. Você vai que uma função tem uma infinidade de primitivas mas que todas
estas primitivas tem a mesma derivada.

Há três situações à considerar, (há mais, porém elas se reduzem às estas que vou discutir aqui). Ao final mostro como.

  1. Quando c < a;
  2. quando c \in (a,x) a raíz estiver dentro do intervalo de integração;
  3. quando c > x;

O primeiro caso e o terceiro a gente resolve fácil, uma vez que o gráfico mostra um trapésio. O segundo caso também é um trapésio
porém neste caso tem gente que não consegue aceitar facilmente que é:
são dois triângulos que se opõem pelo ângulo agudo igual.

Então nos casos primeiro e terceiro o cálculo é simples: \frac{f(a)+f(x)}{2}(x-a) a área de trapésio. Poderia parar por aqui,
porque esta expressão é do segundo grau como queriamos provar:

  • \frac{f(a)+f(x)}{2} é do primeiro grau;
  • (x-a) é do primeiro grau;
  • O produto \frac{f(a)+f(x)}{2}(x-a) é do segundo grau;
  • F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt = \frac{f(a)+f(x)}{2}(x-a) é uma função do segundo grau.

Eu poderia ter feito cálculos mais explicitos, mas posso deixá-los por sua conta, basta substituir f(a), f(x) pela
expressão que define f.
Vou ao segundo caso e o que me interessa é mostrar que os cálculos são exatamente os mesmos que fiz acima, o
gráfico que você pode obter, as áreas dos dois triângulos semelhantes que se opõem pelo ângulo agudo homólogo,
têm o cálculo de suas áreas como se eles fossem um trapésio.

Neste caso vou calcular dividindo a integral em soma de áreas, sobre o intervalo [a,c] mais a área sobre
o intervalo complementar [c,x]. Uma soma de área contíguas, e em cada caso, área de triângulos, porém,
uma diferença de áreas porque uma das áreas tem sinal diferente da outra.
F(x) = \int\limits_{a}^{x} f(t) dt
F(x) = \int\limits_{a}^{c} f(t) dt +\int\limits_{c}^{x} f(t) dt
F(x) = \frac{f(a)}{2}(c-a) + \frac{f(x)}{2}(x-c)
F(x) = C + \frac{f(x)}{2}(x-c)
F(x) = \frac{f(a)+f(x)}{2}(x-a)
mostrando que F(x) é uma função do segundo grau. Se você substituir f(x), f(a) pela expressão do
primeiro grau, vai chegar ao resultado que estou anunciando na última equação acima (deixando alguma conta para
que você mesmo faça) e mostrando assim que mesmo no caso em que a raíz se encontre no intervalo de integração
e o gráfico mostre dois triângulos semelhantes opostos pelo ângulo comum, esta área ainda pode ser calculada usando
a regra do trapésio.

Poderiamos discutir o sinal de m o coeficiente angular de
f mas isto não iria alterar a configuração geométrica,voltariamos a cair na regra do trapésio para calcular a integral. Deixo que você analise esta variante.



1º Imagem e complementar – função

f: A \longrightarrow B
é injetiva se, e somente se,
(\forall X \subset A ) ( f( X^{c}) = f(X)^{c} )

Porque (\rightarrow )

f sendo injetiva, por definição

x \neq y \leftarrow\rightarrow f(x) \neq f(y)
Dois pontos serem diferentes significam que eles pertencem a conjuntos complementares.
Então dado um subconjunto X qualquer do domínio
se x \in X e y \in X^{c} então suas imagens sendo
diferentes pertencem também a conjuntos complementares:
f(X^{c}) = f(X)^{c}.
Na volta (\leftarrow) suponha que não vale
f(X^{c}) = f(X)^{c} portanto existe pelo menos algum elemento
comum entre os conjuntos f(X^{c}) e f(X) o que
significa a negação da definição de injetividade de f .


2º Interseção e imagem – função

Uma relação fundamental para imagens de funções (e simples de
provar) é

f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)

Porque se z \in f(A \cap B) \implies x \in A \cap B

tal z = f(x) logo z \in f(A) e z \in f(B)
quer dizer z \in f(A) \cap f(B) pela definição da
interseção.


Agora a igualdade, em vez da inclusão, na relação acima implica em
injetividade da função:


3º Critério de equipotência entre conjuntos

f(A \cap B) = f(A) \cap f(B) se e somente se f
é injetiva.

Suponha que f não seja injetiva e considere dois conjuntos disjuntos
com mesma imagem (é possível porque f não é injetiva) ora
f(A \cap B) é vazio e f(A) \cap f(B) não é vazio,
portanto conjuntos diferentes.


4º Critério de equipotência entre conjuntos

f: A \longrightarrow B
é injetiva se, e somente se,
(\forall X ,Y \subset A) ( f(X - Y) = f(X) - f(Y) ) .
Esta bonita relação é consequência direta da relação anterior, porque,
se f for injetiva então

X - Y = \{x ; (x \in X ) e ( x \notin Y) \} = X \cap Y^{c}
a diferença de conjuntos se expressa com a “interseção com o complementar”
do minuendo,

f(X-Y)=
= f(X \cap Y^{c})=f(X) \cap f(Y^{c})=f(X) \cap f(Y)^{c}=
= f(X) - f(Y)


5º distributividade – união e interseção

Dadas as famílias (A_{\lambda})_{\lambda \in L} e (B_{\mu})_{\mu \in M} considere o novo conjunto de multi-índices (\lambda , \mu) \in L \times M. Valem as distributividades, da união relativamente à interseção e da interseção relativamente à união:

  • \left( \bigcup_{\lambda \in L}A_{\lambda \in L} \right) \cap \left( \bigcup_{\mu \in M}B_{\mu \in M} \right) = \bigcup_{(\lambda,\mu) \in L \times M} \left( A_{\lambda} \cap B_{\mu}\right)
  • \left( \bigcap_{\lambda \in L}A_{\lambda \in L} \right) \cup \left(\bigcap_{\mu \in M}B_{\mu \in M}\right)= \bigcap_{(\lambda,\mu) \in L \times M} \left( A_{\lambda} \cup B_{\mu}\right)

Demonstração:

\left( \bigcup_{\lambda \in L} A_{\lambda } \right) \cap \left( \bigcup_{\mu \in M} B_{\mu } \right) =

= I \cap J

Considere z \in I \cap J então

(z \in I) e ( z \in J)

(\exists \lambda) ( z \in A_{\lambda} ) e (\exists \mu) ( z \in B_{\mu})

então existe um par de índices (\lambda, \mu) e podemos afirmar que

(\exists (\lambda, \mu) ( z \in A_{\lambda}) \mbox{ e } ( z \in B_{\mu})

que significa

z \in \bigcup_{(\lambda, \mu)\in L \times M} ( A_{\lambda} \cap B_{\mu} )

Isto demonstra uma inclusão, mas as afirmações se implicam de volta e
temos assim a outra inclusão e portanto a igualdade. Observe que demonstrei apenas
25% da proposição, mas o resto pode ser feito de forma semelhante ao que fiz.

Isto não é “teoria dos conjuntos” mas sim lógica. Usamos que
os “quantificador existencial”, existe se distribui
relativamente a conjunção lógica.

Da mesma forma o “quantificador para todo” se distribui relativamente à disjunção
lógica o demonstra a segunda proposição, para trocar “existe” por “para todos”.


6º conjuntos equipotentes

f: X \longrightarrow Y .
se X for infinito e f for injetiva então Y é infinito.

Se f for bijetiva então Y é infinito porque funções bijetivas estabelecem equivalência entre
conjunto equipotentes.
Se f não for bijetiva então f(X) é uma parte própia de Y;
f(X) , X são equipotenes (tem mesma cardinalidade) porque
f:X \longrightarrow f(X) é uma bijeçao.
Posso agora definir a
função
h: f(X) \longrightarrow Y ; f(x) \mapsto f(x)
simplesmente a identidade de f(X) em Y, é uma função
injetiva, logo uma injeção de uma parte própria de Y em Y, por definição Y é infinito.

Definição:

Um conjunto é infinito se houver uma injeção de uma parte própria dele, nele.

fatoração canônica de um morfismo de conjuntos

fatoração canônica de um morfismo de conjuntos


A figura mostra a decomposição canônica de morfismos. Eu vou algumas vezes
fazer referência a esta decomposição (fatoração). O conjunto quociente – conjunto
das classes de equivalência, gerado por f em seu domínio é designado por
X/R_{f} . Esta notação será usada posteriormente quando se estiver em uma categoria com mais estrutura, grupo, anel, espaço vetorial. Quem já tiver estudado grupos, por exemplo, já passou pelas classes quocientesde um morfismo de grupo, é exatamente a classe quociente gerada pela função que define o morfismo de grupos.

A equação desta relação de equivalência é
\overline{x} = \{ x' ; f(x) = f(x') \}
é o subconjunto de X dos elementos que tem mesma imagem via f

Portanto “tem” tantas classes de equivalência quantos forem as distintas imagens, a
maneira correta de falar é “a cadinalidade de X/R_{f} é a mesma de
f(X)“, porque cardinalidade em geral não serve para contar elementos…


7º Critério para conjunto infinito – sobrejeção

Dada f: X \longrightarrow Y
se Y for infinito e f for sobrejetiva então X é infinito.

Esta proposição me permite usar o axioma da escolha que é contestado
por um grupo de matemáticos chamados construtivistas.

Vou fazer referência à figura que se encontra no exemplo 6º representando a decomposição canônica (ou fatoração canônica) de uma função.

Para qualquer função sobrejetiva
f: X \longrightarrow Y existem duas funções, s, b
tal que b é bijetiva e s é sobrejetiva (veja o gráfico) de modo que vale a fatoração canônica
f = b o s (o símbolo “o” é a composição de funções, ou de morfismos de uma certa estrutura.)

O conjunto X/R_{f} é o conjunto das classes da relação de equivalência induzida por f em X. Cada elemento
deste conjunto se compõe dos elementos de X que tenham a mesma imagem em Y via f.
Então os conjuntos Y , X/R_{f} são equipotentes e portanto se Y for infinito o conjunto quociente
$laex X/R_{f}$ é infinito. O axioma da escolha termina agora a demonstração, podemos selecionar para cada classe em X/R_{f} um elemento de X mostrando que card(X) \geq card(X/R_{f})
e assim, se X/R_{f} for um  conjunto infinito, também latex X$ será um conjunto infinito.

As duas funções (morfismos) s,b se chamam sobrejeção canônica e bijeção canônica f = bos é a fatoração canônica de f.



Critério para conjunto infinito

Sejam X um conjunto finito e Y um conjunto infinito.
Então existe

  1. uma função injetiva X \longrightarrow Y
  2. uma função sobrejetiva Y \longrightarrow X

Demonstração:

  1. Se Y for infinito então card(Y) \geq card(N) em que N representa o conjunto dos números naturais, o conjunto dos representantes dos cardinais dos conjuntos finitos. Quer dizer que existe uma imagem de N em Y e portanto uma injeção
    f_{1} : N \longrightarrow Y
    Como X é finito então existe uma injeção f_{2} : X \longrightarrow N
    A composição f_{1} o f_{2} é a injeção procurada.
  2. Usando o axioma da escolha construa uma partição de Y indexada em
    X. Para facilitar a notação
    seja \overline{X} = \{1,2,....n\} – a imagem de X em N
    mencionada em acima, um isomorfismo de conjuntos.Escolha um elemento de Y para cada uma das classes
    \overline{1}, \dots \overline{n-1} associando \overline{n} ao restante dos
    elementos de Y.Construi, assim, um conjunto quociente (uma partição de Y) portanto uma bijeção de Y em X por definição y \mapsto classe(y) \in X .

9º Uma questão de indução – Para demonstrar que uma proposição é verdadeira, por indução finita, temos que estabelecer uma relação entre a proposição e os números naturais mostrando
que ela fica indexada em \mathbf{N}. Mas pensar assim pode ser muito difícil e é mais
prático seguir os passos dos axiomas de Peano:

  1. Existe um primeiro número natural n_{0} tal que P(n_{0}) é verdadeira.
  2. Vale: P(n) \implies P(n+1) se n > n_{0}

Vou mostrar que
(1+x)^{n} \leq 1 + nx + [n(n-1)/2]x^{2} se x \geq 0

Mas é uma maldade pedir que se demonstre por indução esta desigualdade quando ela pode ser
demonstrada muito mais facilmente usando um teorema do Cálculo que estabelece:

Teorema: Dadas duas funções f,g que coincidem num ponto,
f(a) = g(a) e tal que para todo x \geq a se tenha $f'(x) \geq g'(x)$ então
f(x) \geq g(x).

Este teorema é uma simples consequência de condição inicial de uma equação diferencial (na verdade uma “desigualdade diferencial”) – duas equações diferenciais com a mesma condição inicial f(a) = g(a), então a solução da primeira equação vai ser maior do que a solução
da segunda equação.

É o caso aqui e a demonstração por indução fica muito mais complicada. Ora, o nosso objetivo não pode ser procurar a solução mais complicada, a não ser que haja uma razão que nos conduza a alguma generalização, não vejo como poderia ser o caso aqui.

Vou designar f_{n}(x) = (1+x)^{n} , g_{n}(x) = 1 + nx + [n(n-1)/2]x^{2} , quer dizer, que me proponho a demonstrar que
f_{n}(x) \leq g_{n}(x) se x \geq 0 \ ; \ n \geq 2

A sentença P(n) é verdadeira para os valores de n = 0 , 1 porque
nestes casos se tem f_{n}(x) = g_{n}(x), a questão fica interessante a partir de n = 2.

Se você rodar o seguinte script do gnuplot pode ter uma sugestão de como conduzir a demonstração (os gráficos do gnuplot não são uma demonstração, mas ajudam na determinação de uma estratégia para obter a demonstração). Copie o script em um arquivo, digamos, teste.gnuplot e depois execute gnuplot teste.gnuplot.

f(x) = (1 + x)**n
g(x) = 1 + n*x + ((n*(n-1))/2.0)*x**2
##set terminal jpeg
##set output "teste.jpeg"
set xrange [-1:3]
n = 2
print f(0), g(0)
plot f(x),g(x),0
pause -2
n = 3
print f(0), g(0)
plot f(x),g(x),0
pause -2
n = 4
print f(0), g(0)
plot f(x),g(x),0
pause -2
print f(0), " ", g(0)
pause -2

Quando n = 2 \ ; \ f_{2}(x) = (1+x)^2 \ ; \ g_{2}(x) = 1 + 2x + x^{2} = f_{2}(x)
e portanto a afirmação $P(n)$ é verdadeira para n = 2. Vou considerar este, o ponto
inicial de indução.

A hipótese de indução

Vamos supor que P(n) seja verdadeira para um valor arbitrário de n > 2

A implicação no método da indução

Vamos verificar se é verdade que
ver se P(n) \implies P(n+1)

  • Pela hipótese de indução sabemos que f_{n}(x) > g_{n}(x)
  • f'_{n+1}(0) = n+1 = g'_{n+1}(0)
  • f_{n+1}(0) = 1 = g_{n+1}(0)

falta nos mostrar que


Lema:
f'_{n+1}(x) \geq g'_{n+1}(x) \forall x \geq 0


  • f'_{n+1}(x) = (n+1)f_{n}(x) > (n+1)g_{n}(x)
  • (n+1)g_{n}(x) = (n+1)( 1 + nx + \frac{n}{2}(n-1)x^{2} = h_{n+1}(x)
  • h_{n+1}(x) \geq g'_{n+1}(x)

Na primeira das equações acima usei a hipótese de indução mas ainda preciso provar
que a terceira equação (desigualdade) é verdadeira. Vou usar o teorema do Cálculo que
citei logo acima.

Temos

  • h_{n+1}(0) = n+1 \ ; \ h'_{n+1}(x) = (n+1)(n + n(n-1)x)
  • g'_{n+1}(0) = n+1 \ ; \ g''_{n+1}(x) = n( n+1)
  • h'_{n+1}(x) \geq g''_{n+1}(x)

provando que h_{n+1}(x) \geq g'_{n+1}(x) que é a terceira equação que eu queria
demonstrar finalizndo assim lema e portanto a demonstração por indução da desigualdade
que queriamos. Observe que usamos duas vezes o mencionado teorema do Cálculo e que
apenas ele poderia ter sido usado para demonstrar a desigualdade mostrando que aqui, neste
caso, a demonstração por indução é uma barbaridade, dessas coisas que tornam o ensino de Matemática parecer que é um amontoado de coisas sem sentido.


10º Elemento neutro e quase associatividade.

Suponha que em (E,*) exista
um elemento neutro e além disto seja
verdadeiro
a * (b * c) = (a * c) * b
para todo a,b,c \in E.
Mostre que (E,*) é uma estrutura
comutativa e asssociativa.

Demonstração:

(H) implica que

e*(b*c) = (e*c)*b

em que estou chamando de “e” ao elemento neutro, que por
hipótese existe, então

b*c = e*(b*c) = (b*c) = (e*c)*b = c*b
para quaisquer elementos
b,c \in E

provando a comutatividade,

Retomando agora (H) temos

a * (b * c) = (a * c) * b

pela comutatividade

a * (c * b) = (a * c) * b.
para quaisquer elementos

a,b,c \in E
o que significa que
(E, *)
é uma estrutura associativa. Portanto
(E,*) é uma estrutura comutativa,
associativa e com elemento neutro, um
semi-grupo.


11º A geratriz das dízimas periódicas.

Vou explicar um caso simples e ao
final mostrar como se pode fazer no
caso geral. Se alguém quiser escrever
o caso geral, me envie que eu publico
aqui.

Considere a dízima periódica
a,(p1p2...pn)
quer dizer o conjunto de dígitos
p1, p2, ..., pn
se repete periódicamente.

Tire a parte inteira, portanto considere apenas
0,(p1p2...pn)

Que significa este número?

0,(p1p2...pn) =
\frac{p1p2...pn}{10^{n}} + $latex\frac{p1p2…pn}{10^{2n}}+…$

uma progressão geométrica de razão \frac{1}{10^{n}} cujo primeiro termo é

\frac{p1p2...pn}{10^{n}}

Vamos simplificar: (mania de matemático, quer dizer, generalizar),
uma progressão geométrica de razão
r < 1
cujo primeiro termo é A

A + Ar + Ar^{2} + ... + Ar^{n} + .... =
= A \frac{1}{1 - r} =
\frac{A}{1-r}

Você já começa a ver o período aparecendo no numerador. Agora o que temos no denominador
é uma potencia de 10 invertida
r = \frac{1}{10^{n}} subtraida de 1 portanto, vamos
olhar o denominador:

1 - r =
1 - \frac{1}{10^{n}} = \frac{10^{n}}{ 10^{n}} - \frac{1}{10^{n}} =
= \frac{10^{n} - 1}{10^{n}}

Olhe o que vai aparecer no denominador (porque temos que inverter 1 - r):

10^{n} - 1
é um número que tem apenas noves e quantidade dos noves é a quantidade de
zeros que houver em
10^{n}.

Isto já nos dá a regra.

Uma fração que tenha no numerador um periódo – A – seguido de tantos zeros quantos forem
os algarismos da parte periódica e no denominador tantos noves quantos forem os algarimos
da parte periódica.

Podemos dizer que há outro caso, se houver uma parte não periódica depois da vírgula… mas
neste caso multiplique por
10^{m}
em que m é quantidade de dígitos da parte não periódica
e divida por
10^{m} e você cai no caso descrito acima.

Claro, dá para escrever isto melhor e chegar exatamente na regra que está nos livros do Ensino Médio. Se alguém quiser escrever melhor, podemos publicar aqui na página. Ou pode dar
um artigo para publicar na Sobral Matemática. Escreva e me envie que
eu publico.


12º O triângulo de Pascal

Você sabia que as linhas do Triângulo de Pascal trazem as potências
de 11 em uma base de numeração arbitrária?
Vou começar “mostrando” isto, pelo menos mostrando a idéia,depois
vou usar esta ideia para fazer a demonstração de as linhas do
triângulo contem os números binomiais.

Deixe-me apresentar-lhe um instrumento milenar – se supõe que foi descoberto pelos Chineses há
alguns milênios, o triângulo de Pascal .  Isto é o resultado de um programa em python com cerca de duas linhas.

Até a quarta linha do triângulo de Pascal
podemos ver as potências de 11:

  1. 11 elevado a zero —> 1
  2. 11 elevado a um —> 11
  3. 11 elevado a dois —> 121
  4. 11 elevado a três —> 1331
  5. 11 elevado a quatro —> 14641

Da quarta linha em diante esta afirmação continua valendo mas temos que fazer uma “interpretação”
para vê-lo.

Interpretando as linhas posteriores à quarta no Triângulo

Na quinta linha aparece “10”. Se você aplicar a regra habitual que usamos para
fazer contas – passar para a casa seguinte o algarismo
da dezena, fica:

  1. 1 5 10 10 5 1
  2. 1  6   1   0 5 1 –> 11 elevado a cinco 161051

Entretanto, como a profa. Gerusa me observou, podemos considerar “10” um novo algarismo, (na base 11, seria uma forma nada convencional, mas vencendo o preconceito do convencionalismo estaria certo) e então  15″11″”11″51 ou  15aa51 -respeitando as convenções e considerando a base 11 representanda pelos algarismos  1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,   15aa51  seria 11 elevado a quinta potência. Esta convenção é usada normalmente na base 16 em que os algarismos são  1,2,3,4,5,6,7,8,9,a,b,c,d,e,f.

Na sexta linha aparecem 15 e 20 aos quais podemos aplicar a mesma regra da passagem para a casa seguinte:

  1. 1 6 15 20 15 6 1
  2. 1 7  7  1    5  6 1 –> 11 elevado a seis 1771561
ou considerar   “15”, “20” como novos algarismos escrevendo    16fkf61  (com  f para o algarismo 15, k para o algarismo 20).

As linhas do Triângulo – coeficientes do Binômio de Newton

Eu poderia seguir fazendo esta interpretação, mas o que fiz acima deve
deixá-l@ convencid@ de que as linhas do triangulo de Pascal podem ser
interpretadas como as potências de 11.
Porém elas podem ter uma outra interpretação que é mais importante e que vou
deduzir desta.
Observe como calculamos
as potências de 11
As potências de 11 são um caso particular da multiplicação que posso
descrevê-la como:

  1. Escrevo o multiplicando duas vezes, um abaixo do outro
  2. O de baixo leva um deslocamento para esquerda – foi multiplicado por 10.
  3. Somo as colunas para obter a nova potência de 11, (regra de Stifel do Triângulo de Pascal)

No caso do Triângulo, somo as colunas sem passar nada para a casa seguinte.
Assim, cada linha do Triângulo é obtida da anterior usando este algoritmo que
descrevi. Isto também “prova” que as linhas do Triângulo são as sucessivas
potências de 11.

As linhas do Triângulo – coeficientes do Binômio de Newton

Corrigindo a informação acima, as linhas do Triângulo não são “apenas” as
potências de 11. Cada elemento da linha de ordem “n” é um coeficiente dos
termos da enésima potência da soma (a+b).
Observe que

11 = 10 + 1

Experimente desenvolver as potências de (a + 1) e compare com as linhas do
Triângulo.
Experimente agora desenvolver as potências de (a + b) e compare com as linhas do Triângulo.

Indução Finita

Leia novamente o texto sobre indução finita.
Eu vou usar este método de demonstração, a indução finita, para concluir que
o Triângulo é formado pelos coeficientes do Binômio de Newton.
Em resumo, o método da indução finita consiste em:

  1. Temos que demonstrar que P(n) é verdadeira, em que P(n) representa
    uma afirmação qualquer que depende do número natural “n”.
  2. Identificamos um ponto de partida, o primeiro valor de “n” para o qual
    P(n) é verdadeira. Não precisa ser P(0), nem P(1)…
  3. Hipótese de indução: admitimos, (é uma hipótese) que P(k) é
    verdadeiro – número natural “k” maior do que o primeiro valor
    que identificamos acima.
  4. Tentamos provar a implicação:
    P(k) ===> P(k+1)

    Se tivermos sucesso, então P(n) é verdadeiro para qualquer “n” maior do
    que o primeiro valor que identificamos como ponto inicial.

No caso do Triângulo.

  1. P(0) significa a linha de ordem zero contém os coeficientes
    de (a+b) elevado a zero
    .
    Isto é verdadeiro!
  2. Hipótese de indução:
    P(k) significa, a linha de ordem “k” contém os coeficientes do
    desenvolvimento da potência k-esima de (a+b)
    .
  3. Vamos deduzir, da hipótese de indução, que a linha de ordem “k+1” contém
    os coeficientes da potência “k+1” de (a+b).
  1. Considere (a+b)^{k} – notação do LaTeX e de algumas linguagens de
    programação para potência. Por hipótese os coeficientes deste desenvolvimento
    estão na linha de ordem “k” do Triângulo.
  2. Quando multiplicarmos por “a” vamos aumentar de uma unidade todas
    as potências de “a” em (a+b)^{k} sem mexer nas potências de “b”.
    Quando multiplicarmos por “b” vamos aumentar de uma unidade todas
    as potências de “b” em (a+b)^{k} sem mexer nas potências de “a”.
    Em ambos os casos a única modificação: nas potências, sem alterar os
    coeficientes.
    Para deixar coincidindo os termos semelhantes, temos que “arrastar” uma
    dessas expressões para direita ou para esquerda, digamos que seja a
    segunda – quando multiplicamos por “b” que seja “arrastada” para direita.

    Foi o que fizemos todo tempo as potências de 11.
  3. Precisamos de uma notação para prosseguir a demonstração.
    Observe que na linha de ordem “k” tem “k+1” termos que podemos numerá-los
    de 0 até k.
    A notação usada é

    C0,k,  C1,k,  C2,k,  …,  Ck,k

    Em que os números

    Cj,k

    representam os coeficientes no desenvolvimento de (a+b)^{k}.
    Portanto para fazer coincidir em cada coluna os termos semelhantes teremos:
    C0,  k, C1,k,   C2,k,   …,   Ck,k
    C0,k,   C1,k,   C2,k,   …,   Ck,k


    C0,k+1, C1,k+1, C2,k+1, …, Ck,k+1 Ck+1,k+1
    Que produz a definição da próxima linha:
    Cj+1,k+1 = Cj+1,k+1 + Cj+1,k+1

  4. Como a próxima linha é o produto de (a+b)^{k} por (a+b) então os
    coeficientes de (a+b)^{k+1} se encontram na linha de ordem k+1 do
    Triângulo, quer dizer:

    P(k) ==> P(k+1)

Demonstrei, usando indução finita, que as potências de (a+b)^{n} tem
os seus coeficientes na linha de ordem n do Triângulo de Pascal.


13º Exemplos de induçãofinita

Você pode ler um texto sobre Indução
finita aqui.
É um pequeno resumo.

Vou dar alguns exemplos de demonstração usando
indução finita.

A soma dos n primeiros números
naturais é \frac{n+1}{4}n. Falso, a fórmula correta é
\frac{n+1}{2}n porque
P(0) = \frac{1}{4} 0 = 0; P(1) = \frac{1+1}{4} 1 = \frac{1}{2}

A soma do n primeiros números
naturais é
\frac{n+1}{2}n porque

P(0) = 0; P(1) = \frac{1+1}{2} \cdot 1 = 1
Hipótese de indução
1 + 2 + \cdots + k = \frac{k+1}{2} k = P(k)

\underbrace{[1 + 2 + \cdots + k]} + k+1 =
Usando a hipótese de indução
\overbrace{ [\frac{k+1}{2} k]} + k+1 = \left( \frac{k}{2} + 1\right)(k+1) =
\left( \frac{k+2}{2} \right)(k+1) = \frac{k+1 + 1}{2} (k+1) = P(k+1)

Então $ latex P(k) \implies P(k+1)$ e
a soma dos $ latex n$ primeiros números
naturais é $ latex P(n) = \frac{n+1}{2}n$

A soma dos quadrados dos $ latex n+1$
primeiros números naturais é
0+ 1 + 4 + \cdots n^{2} =  \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Porque
P(0) = 0; P(1) = \frac{1+1}{2} \cdot 1 = 1
\mbox{Hipótese de indução } 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k+1}{2} k = P(k)

\underbrace{[1 + 2 + \cdots + k]} + k+1 = \mbox{ usando a hipótese de indução}

= \overbrace{ [\frac{k+1}{2} k]} + k+1 = \left( \frac{k}{2} + 1\right)(k+1) =
= \left( \frac{k+2}{2} \right)(k+1) =  \frac{k+1 + 1}{2} (k+1) = P(k+1)

Então $ latex P(k) \implies P(k+1)$ e
a soma dos $ latex n$ primeiros números
naturais é $ latex P(n) = \frac{n+1}{2}n$

A soma dos quadrados dos n+1 primeiros números naturais é dada
por
0+ 1 + 4 + \cdots n^{2} =  \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Porque
P(1) = 1^{2} = 1 = \frac{1(2)(3)}{6} = 1
\mbox{Hipótese de indução } 1 + 4 + \cdots k^{2} =  \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Usando a hipótese de indução
\underbrace{ 1 + 4 + \cdots k^{2}} + (k+1)^{2} = P(k)
= \underbrace{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}} + (k+1)^{2} =
\frac{k(k+1)(2k+1) + 6 (k+1)^{2}}{6} =
\frac{k(2k+1) + 6 (k+1)}{6} (k+1) =  \frac{2k^{2} + 7k + 6 }{6} (k+1) = S

Desenvolvendo a expressão de
$ latex P(k+1)$ temos

P(k+1) = \frac{ (k+1)(k+2)(2(k+1) + 1)}{6} =  \frac{ (k+1)(k+2)(2k+ 3)}{6} =
= \frac{ (k+2)(2k+ 3)}{6} (k+1) = \frac{2k^{2}+7k+6 }{6} (k+1) = S
Como eu obtive nas equações a
mesma expressão $ latex S$
então
$ latex P(k) \implies P(k+1)$ e a fórmula $ latex P(n)$ vale para
todo $ latex n$ maior ou igual a 1. Como ela também vale para $ latex n=0$ então
ela é verdadeira para a soma dos quadrados dos $ latex n+1$
primeiros números naturais.

O programa exer_03_01_01.calc que se encontra no link
programas” na página, calcula a soma usando tanto a expressão
de $ latex P(n)$ como um laço para calular a soma de cada quadrado
até um teto especificado pelo usuário.

$ latex 1 + 3 + \cdots + (2n-1) = n^{2}$
é verdadeiro porque

$ latex
P(1) = 1 = 1^{2} $
$ latex \mbox{Hipótese de indução } 1 + 3 + \cdots + (2k-1) = k^{2} = P(k) $

$ latex \mbox{usando a hipótese }
\underbrace{1 + 3 + \cdots + (2k-1)} + 2k+1 = $
$ latex \underbrace{ k^{2}} + 2k+1 =
(k + 1)^{2} = P(k+1) $

então
$ latex P(k) \implies P(k+1)$ e a fórmula $ latex P(n)$ vale para todo
n.

O programa exer03_01_02.calc, que se encontra aqui
calcula a soma dos números ímpares e usa a expressão $ latex P(n)$ para
avaliar esta soma.

A soma das quarta potências dos n+1 primeiros números naturais.
$ latex
P(2) = 0^{4} + 1^{4} = 1 = \frac{6*32 – 15*16 + 10*8 – 2}{30} = 1 $
A hipótese de indução
$ latex
0 + 1 + 2^{4}+ \cdots + (k-1)^{4} = P(k) = $

$ latex = \frac{6k^{5}-15k^{4}+10k^{3}-k}{30} $
Usando a hipótese a hipótese de
indução.

$ latex
\underbrace{0 + 1 + 2^{4}+ \cdots + (k-1)^{4}} + k^{4}= $
$ latex
\underbrace{ \frac{6k^{5}-15k^{4}+10k^{3}-k}{30}} + k^{4} $
$ latex \frac{6k^{5} + 15k^{4}+10k^{3}-k}{30} = S $

Agora é mais fácil fazer como já fiz em um dos casos anteriores,
desenvolver a expressão de $ latex P(k+1)$ para ver se posso encontrar
$ latex S$.

P(k+1) = \frac{6(k+1)^{5}-15(k+1)^{4}+10(k+1)^{3}-(k+1)}{30}
Usando o triângulo de Pascal posso escrever
\begin{tabbing}  6 \hskip 0.5cm\= ( latex k^{5}+$\hskip 0.5cm\= $ latex 5k^{4}+$\hskip 0.5cm\= $ latex 10k^{3}+$\hskip 0.5cm\= $ latex 10k^{2}+$\hskip 0.5cm\= $ latex
5k+$ \hskip 0.5cm\= 1)$
-15 \> ( \>$ latex k^{4}+$ \>$ latex 4k^{3}+$\>$ latex 6k^{2} +$\>$ latex 4k+$\> $ latex 1$)$
10 \> ( \> \>$ latex k^{3}+$\>$ latex 3k^{2}+$\>$ latex 3k+$\> $ latex 1$) $
-1 \> ( \> \> \> \>$ latex k+$ \> $ latex 1$)$
\> $ latex 6k^{5}+$\>$ latex 15 k^{4}+$\>$ latex 10 k^{3}-$\> \> $ latex k$ \> $

\end{tabbing}
$
portanto
P(k+1) = \frac{6k^{5} + 15k^{4}+10k^{3}-k}{30} = S

Conclusão $ latex P(k) \implies P(k+1)$
e a soma das quartas potências dos $ latex n$ primeiros números naturais
é dada por
P(n) = \sum\limits_{k=0}^{n-1} k^{4}= \frac{6n^{5}-15n^{4}+10n^{3}-n}{30}
O programa exer03_01_03.calc, que se encontra aqui
calcula a soma das quartas potências dos $ latex n-1$
primeiros números naturais.


14º um problema de indução finita

Um professor solicitou dos seus alunos a demontração da fórmula da soma
das quartas potências que deveria ser feita por Indução Finita, com
a ressalva de que métodos alternativos poderiam ser usados.
A fórmula seria

\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^{4}=
\frac{6n^{5}-15n^{4}+10n^{3}-n}{30}

Um aluno definiu

\sum\limits_{k=0}^{n-1} k^{4}= Q(n)
P(n) = \frac{6n^{5}-15n^{4}+10n^{3}-n}{30}

Depois, usando calc, uma linguagem
de programação,.de domínio público, e de precisão infinita,
apresentou os seguintes resultados
:

  1. ;
    • define P(n)
    • {return (6*power(n,5)-15*power(n,4)+10*power(n,3)-n)/30;}
    • P(n) defined
  2. 1
    ; P(2)
    1
  3. ; 1 + 16 = 17; P(3)
    17
  4. ; 1 + 16 + 81
    98
    ; P(4)
    98
  5. ; 1 + power(2,4) + power(3,4) + power(4,4)
    354
    ; P(5)
    354
  6. ; P(6)
    979
    ; 1 + power(2,4) + power(3,4) + power(4,4) + power(5,4)
    979
  7. ; P(7)
    2275
    ; 1 + power(2,4) + power(3,4) + power(4,4) + power(5,4) + power(6,4)
    2275
  8. ; P(8)
    4676
    ; 1+power(2,4)+power(3,4)+power(4,4)+power(5,4)+ power(6,4)+ power(7,4)
    4676

concluindo que a fórmula estava correta.
O professor aceitou
a demonstração do aluno, mas tirou-lhe um ponto por uso incorreto
de um teorema da Álgebra.

Foi correta a decisão do professor?


15º Continuidade de funcionais

Considere E um espaço vetorial normado e
f: E \rightarrow {\mathbf R} um funcional linear descontínuo.
Mostre que

  1. a imagem de qualquer bola é a reta;
  2. Ker(f) é denso em E

Demonstrações:

    1. Pela definição da continuidade de operadores lineares, se
      um funcional não for contínua então não é limitado logo
      tem um ponto x_{0} da bola unitária U
      cenrada em zero
      tal que f(x_{0}) é maior do que qualquer
      número real. Pela simétria dos operadores lineares
      f(-x_{0}) = - f(x_{0}) é menor do qualquer
      número real.
      Como f(0)=0 então pela homogeneidade de f
      a imagem do segmento de reta $0-x_{0}$ aberto em $x_{0}$
      pertence a $Im(f)$ sendo portanto uma semi-reta.
      A simetria da $Im(f)$ termina a demonstração
      para a bola unitária.
      Considere agora uma bola aberta qualquer do espaço,
      V, um ponto qualquer s \in V
      tal que f seja contínuo em s
      e um número real r tal que
      rU + s \subset V, então
      f(rU + s) = rf(U) + f(s)
      é a reta.
    2. Por absurdo, suponha que exista uma bola aberta V
      de E
      que não esteja contida em Ker(f) e seja um
      ponto s \in V tal que f seja contínuo
      em s, então existe um número real r tal
      que rU + s \subset V e como
      A \subset B \rightarrow f(A) \subset f(B)
      para qualquer função f então
      {\mathbf R} = f(rU + s) \subset f(V)
      e portanto $0 \in f(V)$ contradizendo a hipótese
      de absurdo. Logo não há nenhum conjunto aberto
      em E que possa ser disjunto de Ker(f)
      que assim é denso em E.

Aplicação: a integral é descontínua no conjunto
das funções contínuas definidas na reta
com a topologia da convergência uniforme.
Mas está definida e é contínua em qualquer
função à suporte compacto. Pela densidade
do kernel, arbitariamente próximo de qualquer
função à suporte compacto, com integral nula,
existe uma infinidade
de funções contínuas com integral infinita (também
com integral arbitrariamente grande). Isto sugere
que uma topologia diferente deva ser procurada
para o conjunto das funções contínuas para
tornar a integral um funcional contínuo.


16º Desigualdade de Hölder

Seja
(x_{j} )_{j}
uma sequência com a propriedade
(1) f(y) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} x_{j} y_{j}

converge para qualquer sequência
(y_{j} )_{j};
(2) \sum\limits_{j=1}^{\infty} |y_{j}|^{4} < \infty

Mostre que
(3) \sum\limits_{j=1}^{\infty} |x_{j} |^{4/3} < \infty

Demonstração:
A equação (2) estabelece que y = (y_{j} )_{j} é um elemento
genêrico do espaço de sucessões l^{4} e
a equação (1) define um funcional linear neste espaço representado pela
sucessão (x_{j} )_{j} que é a matriz do funcional.
A condição (3), pela desigualdade de Hölder garante que o funcional
F é contínuo, definido no espaço l^{4} e que
portanto (1) converge para todo y \in l^{4}.
Vou estudar a conversa, partindo da equação (1).

A conversa é exatamente a Desigualdade Hölder que estabelece:
O dual do espaço (de Banach) l^{p} de sucessões é o espaço l^{q}
tal que \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1; p,q > 1 Se p=1 então
o dual de l^{p} é l^{\infty}. Mais,
$$
(5)
|f(y)| = |\sum\limits_{j=1}^{\infty} x_{j} y_{j}|
\leq ||x||_{q}||y||_{p}
$$
e consequentemente a norma de continuidade do operador linear f é
a norma-q de x como elemento de l^{q}.Para ver isto basta
calcular o maior valor que limita f quando ||y||_{p} = 1
na desigualdade (5)

Neste caso como p = 4 então
\frac{1}{4} + \frac{1}{q} = 1 \implies q = \frac{4}{3}

A demonstração da desigualdade de Hölder pode ser encontrada no
livro de Simmons, Introduction to topology and Modern Analysis
na segunda parte.


    o próximo exercicios é o 19º no topo da página.

9 pensamentos sobre “Exercícios de Matemática

  1. Pingback: Quem faz matemática em Sobral « Matemática em Sobral

  2. (OCM – 2008) Sejam a1, a2, …, b1, b1, … seqüência de inteiros positivos. Prove, ou obtenha uma contra exemplo, que existem 2008 inteiros i1, i2, …, i2008 tais que a_(i_1 ) ≤ a_(i_2 )≤⋯ ≤a_(i_2008 ) e b_(i_1 ) ≤ b_(i_2 )≤⋯ ≤b_(i_2008 ).

    Com liminf esta questão pode ser resolvida. O número 2008 a torna misteriosa. Podia ter sido redigida de forma melhor: …, exemplo, que para qualquer número natural N, existem inteiros 11,…1N tais que …… Vale para qualquer número natural N, sem nenhum mistério. Apenas o conceito liminf (embora simples) não é habitual nem mesmo num curso de Cálculo.

    Tarcisio

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