Uma comemoração ao herói latino americano Fidel Castro

Caros companheiros, A Associação de Amizade Portugal Cuba, vai promover uma sessão comemorativa do nascimento de Fidel de Castro. Da iniciativa constará uma exposição sobre a figuras do Revolucionário Fidel, um excerto do filme “Ao Encontro de Fidel” de Oliver Stone. A sessão conta com a presença da Sra. Embaixadora Johana Tablada. Contamos com a […]

via Sessão comemorativa do nascimento de Fidel de Castro — Abril de Novo Magazine

Círculo trigonométrico é um grupo multiplicativo e a fórmula da soma de arcos

A fórmula da soma de arcos, quando provada, passa por intricadas justificativas geométricas e tem um caminho mais simples e mais bonito.

A figura, propositalmente, não corresponde à realidade, para não induzir a demonstração.

Vou usar um teorema da Geometria Euclidiana que diz que à cordas de mesma medida correspondem arcos iguais.

Vou provar que a distância entre os pontos
$latex  e^{i\gamma}$ e 
e^{i\beta}
é igual à distância do ponto e^{i\alpha} ao  1 que é a “origem” do círculo trigonométrico.  Isto significa que e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha +\beta)} quer dizer, na fórmula de Euler o que se tem é uma autêntica exponencial.  Depois, basta multiplicar os dois números complexos e^{i\gamma}, e^{i\beta}   para obter a fórmula da soma de arcos da trigonometria. Melhor, você tem ai um caminho fácil para memorizar a fórmula.

Tive que adotar uma notação especial para que as contas pudessem ser exibidas, e logo vou mencioná-la.

Os passo de toda a demonstração são

 

  1. Vou usar dois pontos do círculo trigonométrico, g = e^{i\alpha},  latex h = e^{i\beta} $. Ou em outras palavras, g = e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha) e h = e^{i\beta} = \cos(\beta) + i \sin(\beta)
  2. Dados dois pontos do círculo trigonométrico, agora vistos como números
    complexos, o produto deles é outro ponto do círculo trigonométrico. Em outras palavras, produto de números complexos de módulo 1 é outro número complexo de módulo 1 e portanto o círculo trigonométrico é fechado para multiplicação.
    É simples,
    h = (p + qi); p^{2} + q^{2}  = 1;
    g = (a + bi); a^{2} + b^{2}  = 1;
    gh = (ap - bq) + i(bp + aq);
    (ap - bq)^{2} + (bp + aq)^{2} = I
    I = (ap)^{2}+  (bq)^{2} + (bp)^{2} + (aq)^{2} - 2apbq + 2bpaq;
    I =  p^{2} + q^{2} = 1  \Rightarrow  \|gh\| = 1; gh \in {\mathbf S}^{1};

  3. Como g, h , gh \in {\mathbf S}^{1} então $gh = e^{i\gamma}$. Melhor do que isto,
    g = e^{i\alpha}, h = e^{i\beta}, gh = e^{i\gamma};  \gamma = \alpha + \beta;
    e^{i\alpha}e^{i\beta}     = e^{i(\alpha +\beta)}
    que dizer que a fórmula de Euler é uma exponencial autêntica.

    Confira a figura que coloquei no início,
    o que interessa é mostrar que as duas distâncias que estão alí indicadas, e que eu desenhei como diferentes para não induzir a verdade a partir dum desenho. Elas são iguais.
    Como este cálculo é muito complicado, é interessante estabelecer uma notação
    que permita que a página consiga reter a “ álgebra“, vou usar
    uma notação estranha à Matemática em que as “variáveis” são uma
    única letra, aqui estou usando duas letras para representar uma única
    variável o que justifica que eu escreva $(cb)^{2}$ para indicar o quadrado
    de $cb$. Com cb = $\latex \cos(\beta)$ e de forma semelhante sb para o seno,
    ca para $\latex \cos(\alpha)$. Espero que fique claro.

    g = e^{i\alpha} = ca + i sa = \cos(\alpha) + i \sin(\alpha);
    h = e^{i\beta} = cb + i sb = \cos(\beta) + i \sin(\beta);
    gh = e^{i\gamma} =  cg + i sg = \cos(\gamma) + i \sin(\gamma);
    cg =  \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) = \cos(\gamma);
    sg =  \cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta) = \sin(\gamma);
    S = d(e^{i\gamma},e^{i\beta});
    S = d(h, gh)^{2} = (cb-cg)^{2}+ (sb-sg)^{2};
    S = (cb)^{2}+ (cg)^{2} + (sb)^{2} + (sg)^{2} - 2(cb)(cg) - 2(sb)(sg);
    (cb)^{2}+ (sb)^{2}=1; (cg)^{2}+(sg)^{2} = 1;
    S = 2 - 2(cb)(cg) - 2(sb)(sg) =  2 - 2((cb)(cg) + (sb)(sg)  )
    (cb)(cg) = ( \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta) )\cos(\beta);
    (cb)(cg) = \cos(\alpha)\cos^{2}(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\cos(\beta);
    (sb)(sg) = (\cos(\alpha)\sin(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta))\sin(\beta);
    (sb)(sg) = \cos(\alpha)\sin^{2}(\beta) + \sin(\alpha)\cos(\beta)\sin(\beta);
    (cb)(cg) + (sb)(sg)= \cos(\alpha);
    S =   2 - 2\cos(\alpha)  ;
    T = d(e^{i\alpha},1)^{2} = ( \cos(\alpha)-1)^{2} +  \sin^{2}(\alpha) ;
    T = \cos^{2}(\alpha) - 2\cos(\alpha) + 1 +  \sin^{2}(\alpha);
    T =  2 - 2\cos(\alpha)  = S  \Rightarrow  d(e^{i\gamma},e^{i\beta}) =   d(e^{i\alpha},1);
    e^{i\alpha}  e^{i\beta} =  e^{i\gamma} =  e^{i(\alpha + \beta)};

    provando que as cordas têm mesmo comprimento portanto subtendem mesmos
    arcos, ou que os arcos \gamma - \beta = \alpha ou ainda como
    desejava mostrar, que \gamma = \beta + \alpha.

Agora multiplique os números complexos e^{i\alpha} e e^{i\beta}
para ler os valores do cosseno da soma dos arcos \alpha, \beta que é a primeira coordenado do produto e o seno é a segunda coordenada do produto e você já
não precisa mais decorar a fórmula.

Um velho teorema com uma nova apresentação

 

Fazendo simples o Teorema de Green

Tarcisio Praciano-Pereira

http://www.sobralmatematica.org/preprints/preprint_2017_05.pdf

Vou mostrar como é simples o teorema de Green começando com a
versão trivial e depois mostrando a versão geral. Um
programa de computador estará disponível para que você calcule
aproximadamente integrais de linha.

O teorema de Green é uma fórmula intrigante que povoa
os livros de Cálculo,
\oint\limits_{\partial \Omega} P dx + Q dy = \int\int\limits_{\Omega} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx dy

em que à esquerda está a integral de linha duma forma diferencial
e à esquerda uma integral dupla duma
expressão associada com a forma diferencial da integral de linha. Tem um
salto de dimensão 1 entre as duas fórmulas. Há várias aplicações para
este teorema o que faz ser importante a sua compreensão e divulgação. Por
exemplo, a integral de linha representa a diferencial dum potencial
ao longo da fronteira de \Omega e se houver uma diferença não nula
então este potencial não é exato, o que ocorre com imensa frequência porque
os potenciais exatos são perturbados por forças externas que não esperamos
que existam. Um caso típico é o do pêndulo que se funcionasse num meio
ideal, sem atrito, sua diferença de potencial ao fim de cada ciclo seria
zero.

Neste artigo eu vou começar com um função potencial diferenciável à qual vou
aplicar o teorema de Green para obter a versão trivial. Depois vou dar um
exemplo que atende tanto à versão trivial como o caso geral quando
finalmente
vou enunciar o caso geral do Teorema de Green. Você não vai encontrar
demonstrações aqui, por que eu não iria produzir nenhuma que fosse diferente
das que você pode encontrar nos livros de Cálculo. O meu objetivo é levá-l@
a entender o teorema e consequentemente ter motivação para enfrentar os
cálculos da demonstração que dificilmente podem ser atenuados.

Se (P,Q) for um campo vetorial diferenciável definido num domínio
\Omega do plano, então
\oint\limits_{\partial \Omega} P dx + Q dy =         \int\int\limits_{\Omega} \left(          \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}         \right) dx dy
O teorema de Green tem uma versão trivial pela qual vou começar e que serve
para classificar os campos vetoriais que vou usar ao final na expressão do
teorema. Vou apresentar esta redação no caso de campos vetoriais
bivariados,
(x,y) \mapsto F(x,y) \in \mathbf{R}
com o objetivo
de manter a linguagem
simples.

Se F for um campo escalar, uma função real
de duas variáveis reais
, por exemplo,
continuamente diferenciável, então, pelo
teorema de Schwarz-Clairaut

J(F) =  f(x,y) = \left(P(x,y), Q(x,y)\right);
\frac{\partial F}{\partial x}  =  P(x,y);
\frac{\partial F}{\partial y} = Q(x,y) ;
\left( \begin{array}{cc}         P_{x} & P_{y} \\           Q_{x} & Q_{y} \\   \end{array}\right) =                \left( \begin{array}{cc} \frac{\partial^{2} F}{ \partial x^{2}}          \frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial x}  \frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}          \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}  \end{array}\right);
\frac{\partial^{2} F}{\partial x \partial y}=F_{xy}=Q_{x}=  P_{y}= F_{yx} = \frac{\partial^{2} F}{\partial y \partial x };

o que torna nula a integral

\int\int\limits_{\Omega}( Q_{x} - P_{y}) dx dy =  \int\int\limits_{\Omega}         (\frac{\partial Q}{\partial x}-  \frac{\partial P}{\partial y})         dx dy = 0;

Como posso calcular as primitivas de $Q_{x}, P_{y}$ é
possível deduzir, desta integral dupla,que a integral de linha, também
nula,
\oint\limits_{\partial \Omega} P_{x} dx + Q_{y} dy = 0
Mas a razão pela qual a integral de linha na equação anterior
é nula se pode deduzir de forma independente
da integração feita na integral dupla. Ela é
a integral de linha sobre um caminho fechado, a fronteira
do domínio \Omega quer dizer, uma integral que sai do ponto P
e retorna ao ponto P ao longo do caminho \partial \Omega .

Como
nesta construção inicial o integrando foi construído como derivada
dum campo vetorial F então a integral de linha começando
numa condição inicial P \in \Omega define uma primitiva F
associada à esta condição inicial P e então as integrais de linha deste tipo têm que ser nulas.

Uma das importância do teorema de Green é que ele separa os campos vetoriais
(P,Q) em duas classes:

  1. aqueles que são derivadas e correspondem ao teorema de Green trivial. Suas integrais de linha se dizem independentes de caminho porque se anulam sobre curvas fechadas.
  2. aqueles que não são derivadas e correspondem ao teorema de Green não trivial. Suas integrais de linha se dizem dependentes de caminho porque podem ser não nulas sobre alguma curva fechada.

O programa Green.calc lhe permite fazer o calculo aproximado das integrais de linha. Você poderá editá-lo para fazer você mesmo sua experiências e eis aqui
algumas dicas de como alterá-lo. Procure a menção “ edite aqui

pi= 4*atan(1); ## pi é uma aproximação da constante de Arquimedes
## printf(“pi = %f \n\n”, pi);
i = sqrt(-1);

## edite aqui para alterar a função – o campo vetorial (P,Q)
define f(x,y) { ## (y,-x)/zz* – z* é o conjugado
local z = mat[2];
z[0] = 1.0*y/(power(x,2) + power(y,2));
z[1] = -1.0*x/(power(x,2) + power(y,2));
return z;
}

## edite aqui para alterar a curva gama
define gamma(t) {
local r = 0.5; ## um fator de escala
local a,b; ## uma translação
a = 0.1; b = -0.25; ### coloque a = 0; b = 0 para centrar na origem
local z = mat[2] = {a+r*cos(t), b+r*sin(t) };
return(z);
}

## edite aqui para alterar a derivada da curva gama
define d_gamma(t) { ## mantenha a equivalência com gamma(t)
local r = 0.5; ## o mesmo valor de gamma(t)
local z = mat[2] = { -r*sin(t), r*cos(t) };
return(z);
}

## edite aqui para alterar o valor de delta
delta = 0.01
while(delta > 0.00005) {
print "delta = ", delta,
"O valor da integral de Linha ", RiemannLinha(delta);
delta *= 0.1;
}

quit;

e baixe o programa do link indicado e divirta-se entendendo o Teorema de Green.

Chen Yufei está preso porque ousou dizer que discorda. Eu também discordo.

Chen Yunfei
China

Status: In Prison

Chinese performance artist and human rights activist Chen Yunfei was charged in 2015 with “incitement to subvert state power” and “picking quarrels and provoking trouble” after visiting the grave of Tiananmen Massacre victim Wu Guofeng. After two years of detention without trial, Chen was sentenced on March 31, 2017, to four years in prison. Chinese authorities have tortured Chen twice while in custody and have kept him in shackles for prolonged periods of time.

Um artista, mas o que é pior mesmo é que ele um ativista dos direitos humanos, um ser realmene perigoso na visão de governos, como é o meu caso. Somos gente perigosa. No caso de Chen ele ousou relembrar o massacre da Praça Celestial, é naquele dia em que jovens chineses enfrentaram tanques de guerra. Jovens perigosos que ousavam dizer que não temiam a soldadesca governamental. Chen não quer esquecer o incidente, e nem eu o quero poristo estou aqui protestando.  Além de estar preso por estas ações perigosas e por sua ideias de alto risco, pior, esteve mantido em algemas, o habitual sadismo que ocorre nas prisões onde seres humanos já indefesos, rodeados de policiais armados, sem a menor chance de se evadir, ainda são postos sob algemas e, em alguns casos ficam algemados de pés e mãos. Sadismo puro!  Além de estar preso foi torturado, outra forma sádica de tratar pessoas indefesas sob a guarda do Estado.  Eu não posso ficar calado.

 

Background

Chen Yunfei is a performance artist who works at the intersection of human rights activism and art. His art is overtly political, promoting the Chinese pro-democracy movement and addressing human rights abuses in China and the legacy of the Tiananmen Square Massacre.

Case History

On March 25, 2015, Chen was detained after visiting Wu Guofeng’s grave site with a group of activists and Wu’s family members in remembrance of the Tiananmen Square Massacre. Wu was an amateur photographer and university student who was ultimately stabbed to death with a bayonet by a Chinese soldier during the Tiananmen Square Massacre. In late April of that year, police formally charged Chen with “incitement to subvert state power” and “picking quarrels and provoking trouble”—charges typically brought against dissidents. Chen was held in detention without trial for over two years. Chen’s one-day trial finally occurred on March 31, 2017, after which he was sentenced to a four-year prison term. While in detention, Chen has suffered multiple human rights violations, including being forced to wear shackles for extended periods of time and torture. Chen’s attorney, Sui Muqing, has been detained illegally twice after visiting his client.

Freedom of Expression in China

Chen’s arrest, detainment, and treatment in prison are indicative of the ongoing repression of critics of the Communist Party in China. Since President Xi Jinping took office in early 2013, he has overseen an extensive crackdown on free speech, which has included punishing individual Chinese writers, journalists, and creative artists who have been censored, harassed, imprisoned, and even disappeared after speaking out about sensitive topics such as the rights of ethnic and religious minorities, corruption, and the lack of democratic reform.

Works by Chen Yunfei

In one work, Chen created a farm at his residence called the “Chen Work Farm” and positioned himself as “Chen Prisoner Yunfei.” This work commented both on Chinese penal farms and Chen’s oppression by the police. Another work was a funeral for his passport and permit for traveling to Hong Kong and Macao following the restriction of Chen’s travel due to his outspoken performance art.

Learn more about Chen Yunfei »

As cinco maldades principais da deforma trabalhista do golpe

Em meio à denúncias de corrupção envolvendo diretamente o presidente ilegítimo Michel Temer (PMDB), o governo tenta aprovar a reforma trabalhista, que retira direitos dos trabalhadores para favorecer grandes empresários. O projeto de lei que muda a Consolidação das Leis do Trabalho (CLT), aprovado na quarta-feira (28), na Comissão de Constituição e Justiça (CCJ), seguirá para a […]

via Confira cinco maldades da reforma trabalhista — FETRACOVEST/CUT

Um recado bem americano aos juizes corruptos que nos enojam

DeclaracaoIndependencia

E como, pelo menos alguns deles não saibam inglês ou se confundam com o inglês vitoriano desta frase da Declaração de Indepência (afinal, ser ignorante também é um direito hahahaha!) aqui está uma tradução livre:

“A prudência afinal indica que Governos estabelecidos não devem ser trocados por causas simples e passageiras, (nota do tradutor:  esta sentença já lhes deveria servir , se por acaso tivessem qualquer restício de moral ou ética ou senso de justiça com a derruba ímpia, suja, corrupta em troca das 48% moedas – quem Judas conseguiu guardar, e segundo Guerra Junqueiro voltou lá ao pé da cruz e as jogou aos pés do mestre moribundo que ainda insistiu com Judas que levasse, que o dinheiro era dele, e que n’algum momento a Consciência o derreteria e pingaria, gota a gota em seu cérebro para marcar a consciẽncia do traidor), e de fato toda a experiência mostra que a Humanidade está mais propensa a sofrer, o quando o infurtúnio possa ser suportável, que tomar a si o direito de abolir as formas de governo a que estiverem acostumadas. Mas, quando uma longa cadeia de abusos e usurpações (nota do tradutor:  e creio que um ano de golpe já é uma longa cadeia de abusos e usurpações) levando como único objetivo reduzí-los ao jugo do mais absoluto despotismo, é então o seu direito, é o seu dever, derrubar um tal governo e prover novos guardiões para o seu futuro e sua segurança.

Como se costuma dizer,  o texto em destaque o foi assim colocado por este tradutor por estar convencido de que toda a canalha que vem usurpando o poder deve ser destituida o mais rapidamente possível muito em particular os boina-pretas que também se fantasiam de dráculas com aquelas ridículas capas pretas.

DeclaracaoIndependencia

 

 

Pistoleiros atacam acampamento Hugo Chávez, do MST, em Marabá (PA)

Outro acampamento, na Zona da Mata mineira, também foi incendiado por ruralista

No último final de semana, o acampamento Hugo Chavez, localizado no município de Marabá (PA), sofreu um intenso ataque por parte de pistoleiros armados. A primeira ofensiva contra os trabalhadores rurais e suas famílias começou por volta das 23 horas da noite de sábado. Uma caminhonete com homens armados passou em frente ao acampamento e disparou vários tiros em direção na entrada do local. No domingo (16), o tiroteio recomeçou às 13 horas e os pistoleiros atearam fogo ao redor do acampamento e nas roças de feijão e mandioca plantadas pelas famílias.

Muitas mulheres, idosos e crianças entraram em desespero na hora do ataque e passaram mal com a fumaça. A fazenda Santa Tereza, hoje acampamento Hugo Chávez, abriga 300 famílias que produzem alimentos para consumo próprio e comercialização.

O local também possui uma escola organizada pelos próprios acampados e atende cerca de 180 educandos, entre crianças, jovens e adultos. As famílias – que ocupam a área desde 8 de junho de 2014 -, sempre sofreram com a ação violenta dos pistoleiros da região. Bombas, tiros, ameaças de morte, queima de barracos e plantações são as ações costumeiras contra as famílias acampadas no Hugo Chávez.

No fim de semana anterior, o gerente da fazenda passou pela área ameaçando os acampados, e bradando que a qualquer momento poderiam ser surpreendidos por tiros disparados pelos seguranças da fazenda. A ameaça se concretizou.

A fazenda Santa Tereza é área da família Saldanha, composta por latifundiários na região, com um imenso histórico de violação dos direitos humanos e devastação do meio ambiente em suas fazendas, conforme afirmou Ayala Ferreira, da direção estadual do MST, no Pará, em matéria divulgada pelo movimento.

“Alguns anos atrás, Osvaldo Saldanha teve uma fazenda no sul do Pará que foi flagrada com prática de trabalho escravo e tiveram que pagar multa. Suas áreas são totalmente degradadas e cumprem apenas a função da produção de pasto para criação bovina aqui na região”, disse a liderança.

“Para resolver esse impasse o Estado precisa agir assentando as famílias, criando condições para reprodução da sua existência. As famílias resistirão a todo custo até conseguirem seu sonho de ter direito à terra e produzir alimentos para o povo”, sentenciou Ayala.

Apoio ao acampamento Hugo Chavez
Na segunda-feira (17), cerca de 200 pessoas se deslocaram para o acampamento a fim de prestar solidariedade às famílias o MST. A delegação foi composta por professores e estudantes da Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará (Unifesspa), Comissão Pastoral da Terra (CPT) e vários sindicatos de trabalhadores.

Durante a manhã, fizeram uma visita nas áreas de roça onde os pistoleiros atearam fogo e conversaram com as famílias. E no período da tarde, realizaram uma grande aula pública no centro do acampamento, para discutir a situação. Mesmo com a chegada da delegação os pistoleiros ainda transitavam na estrada a fim de intimidar qualquer ação de ajuda às famílias. Na próxima sexta (21), a comunidade acadêmica da Unifesspa e a CPT irão realizar, na universidade, um manifesto solidário ao acampamento.

A diretoria do ANDES-SN enviou nota de apoio aos trabalhadores e trabalhadoras do acampamento Hugo Chavez. No documento, a diretoria do Sindicato Nacional aponta que “essa situação de terror a que estão submetidos os acampados é uma rotina que precisa ser denunciada, coibida e eliminada, e seus executores punidos. Não podemos aceitar que massacres e chacinas como a de Eldorado do Carajás, em 1996, ou Pau D’Arco, no mês de maio do ano em curso, sejam reeditadas por um latifúndio que se apoia e se fortalece no solo da tradição de impunidade que predomina no país”.

Na nota, os diretores do ANDES-SN exigem, das autoridades responsáveis, a imediata apuração dos fatos ocorridos, a punição dos culpados, a rapidez na desapropriação da fazenda Santa Tereza e o fim da violência no campo.

“Todo apoio à luta dos trabalhadores e das trabalhadoras rurais sem terra do acampamento Hugo Chavez. Reforma Agrária sob controle dos trabalhadores”, finaliza a nota. Confira a íntegra do documento.

Ataque na Zona da Mata mineira
O acampamento do MST localizado na Fazenda São José/Liberdade, parte do complexo de Fazendas Reunidas HD, em Coronel Pacheco, foi atacado na segunda-feira (17), pelo proprietário da fazenda, apoiado pela Polícia Militar de Minas Gerais.

Na última sexta (14), o proprietário da área passou um trator na área próxima às moradias. E na segunda, ateou fogo no capim seco, colocando em risco as 350 famílias acampadas no local. Crianças, mulheres e idosos passaram o dia em meio à fumaça criada pelo incêndio. Segundo informações divulgadas pelo Mídia Ninja, ninguém foi ferido.

A polícia militar cercou o acampamento com armas em punho, numa clara expressão de ameaça, enquanto os moradores tentavam conter o fogo.

De acordo com Tamires Gomes, coordenadora da área, ”o intuito é intimidar as famílias, provocá-las, para que deixem a luta pela terra. Desde que a área foi ocupada, centenas de pessoas procuram o movimento para se somar, porque a cidade deixou de apresentar perspectiva de vida a elas”, explica.

O complexo HD possui mais de 2700 hectares somente no município de Coronel Pacheco, em uma área de grande potencial para desenvolvimento da agricultura familiar e produção de alimentos agroecológicos, devido à vizinhança com o Assentamento Denis Gonçalves, de 150 famílias, e a proximidade a polos de mercado, como Juiz de Fora e Rio de Janeiro.AcampamentoViolentado