O teorema de Pitágoras pode ser falso

Deixe-me começar com um exemplo, ou uma pergunta: você considera que
o teorema de Pitágoras seja uma verdade, ou verdadeiro? Afinal ele é ensinado nas escolas, talvez ainda seja falado no ensino fundamental que quando eu comecei a estudar era o primário. Ele estabelece uma regra para determinar-se se um triângulo com lados a,b,c em que c é o maior lado, seja um triângulo retângulo, certo?

Então numa casa se levanta, dum lado uma coluna perpendicular ao solo. Para fazê-lo os pedreiros não usam esquadros, eles preferem usar o prumo que é um peso preso a um cordão passando pelo furo dum cubo, que devido à
força da gravidade força que o fio fique na perpendicular. Então eles copiam a direção do fio para construir uma parede ou uma coluna.

Na figura você pode ver uma estrutura que foi montada por um engenheiro recém formado que mandou o
pedreiro montar as quatro colunas e a viga num molde que ele havia mandado construir no chão para depois fazer a montagem da casa mais rapidamente, uma tentativa de construção pré-moldada. O pedreiro achou estranho que ele
insistia falando do teorema de Pitágoras a partir do qual calculou meticulosamente as caixas de moldagens para colunas e vigas. Depois com um guindaste foi colocando as peças no lugar mas a viga não encontrou sustentação
entre as duas colunas tudo calculado com o teorema de Pitágoras.

Esta é uma história inventada, e as construções pré-moldadas existem e funcionam, mas as peças não são calculadas com teorema de Pitágoras porque a geometria da superfície da Terra não é a geometria euclidiana que tem o teorema de Pitágoras por base. As colunas que foram colocadas perpendicularmente ao solo, não são paralelas entre si, e
numa pequena construção a diferença é muito pequena a ponto de que se possa usar o teorema de Pitágoras com segurança. Porque a Terra é redonda, a Terra não é plana, e o teorema de Pitágoras não é verdadeiro para
a geometria da Terra. Então o teorema de Pitágoras é falso?

Uma demonstração do teorema de Pitágoras usando classificação de figuras geométricas.

No livro Road to reality, Roger Penrose sugere um interessante caminho para demonstrar o teorema de Pitágoras baseado numa propriedade universal da categoria dos triângulos retângulos. A área dum triângulo retângulo é um múltiplo do quadrado da hipotenusa. Neste artigo eu estou descrevendo detalhadamente a demonstração.

Os objetos da Matemática se classificam e se agrupam em categorias isto é uma teoria que estendeu a teoria dos conjuntos e que inclusive teve uma influência significativa na ciência da computação em que os objetos ou mais recentemente “modelos” com uma generalização dos objetos são uma aplicação das categorias da Matemática.

Eu descrevi de forma simples uma classificação dos triângulos do plano, da Geometria Euclidiana e a partir desta classificação eu preenchi os detalhes do caminho que Penrose apontou. O projeto de Penrose tem dois parágrafos e gastei cinco dias para detalhá-lo, mas acho que valeu a pena o esforço.

A classificação dos triângulos tem uma figura simples

Observe que o ponteiro P se move em um intervalo do círculo trigonométrico indexando simultaneamente três tipos de classes. a classe do tipo acutângulo, a classe do tipo retângulo e a classe do tipo obtusângulo.