Equações diferenciais e Aproximação polinomial

Eu trabalho em duas linhas de ação, Equações Diferenciais Ordinárias, e Aproximação Polinomial.

Esta introdução se dirige mais de perto aos alunos que possam estar interessados em trabalhar
comigo em Iniciação Científica.

  • Equações Diferenciais é um tipo de equação em que a variável (a incógnita) é uma função.
    Um exemplo simples f’ = x que você encontra nas primeiras aulas de Cálculo Diferencial e
    integral. A solução desta equaçãosoluções de uma equação diferencial é uma família de curvas. Neste caso são curvas paralelas mas se trata dum caso particular, nem sempre a solução duma equação diferencial vai
    ser uma família de curvas paralelas. É uma família de curvas que dependem de um único parâmetro no caso das primitivas do Cálculo e portanto serão curvas paralelas. Esta é uma equação de primeira ordem.

    O gráfico é típico de uma aula de cálculo em que o professor insiste que há diversas integrais (aqui eu estou chamando “soluções” da equação diferencial. Em geral uma equação diferencial tem como solução uma família de curvas. A equação f’=x tem por solução qualquer parábola da forma
    F(x) = x**2 + K que você pode ver no gráfico. Neste caso podemos dizer que são curvas paralelas porque todas tem a mesma derivada, mas nem sempre será assim.

    Podemos dizer, para começar, que resolver uma equação diferencial consiste em descrever a família de curvas que ela representa. A geometria oferece belos exemplos de famílias de curvas que são soluções de equações diferenciais é quando aparecem equações de ordem maior com dependência de mais de um parâmetro.

    Mas as equações diferenciais não precisam estar expressas com relações algébricas simples, as
    curvas de crescimento curvas de crescimento são um exemplo disto, são curvas que os médicos que fazem o atendimento infântil tem e que foram feitas a partir da experência (estatística) do registro do crescimento das crianças. Se parecem com as curvas da figura, mas as curvas da figura são apenas uma ilustração (não foram calculadas a partir de uma tabela médica). Este é um exemplo
    do dramatismo que as equações diferenciais encerram: uma criança, ao nascer, entra numa destas curvas, (é o que chamamos de condição inicial) e fica nela pelo resto de sua vida. Quer dizer, uma criança com um pre-natal deficiente (da mãe e dela…), com alimentação deficiente (da mãe e dela), com problemas de saúde da mãe pode nascer pequena e com isto estará fadada a ser um adulto pequeno. Neste caso as curvas de crescimento são parelas como as parábolas do primeiro
    exemplo se não houver mais nenhum problema de saúde com a criança que altere o seu padrão de crescimento. Observe que em casos raros pode acontecer que uma criança fuja de sua curva de crescimento, pule para baixo ou para cima, depende do seu desenvolvimento na época de crescimento (pular para baixo é o mais comum) indicando problemas de saúde. Assim a análise da curva de crescimento informa à médica sobre as condições gerais da criança.

    Estes dois casos que apresentei são equações diferenciais de primeira ordem, envolvem somente
    a derivada primeira da solução. Uma equação mais envolvente seria f” + f’ + f = 0 que está resolvido por dois métodos em uma solução com gnuplot. Baixe pelo menos dois arquivos, “exer02_09.gnuplot” e “exer02_09.dados”
    e depois rode

    gnuplot exer02_09.gnuplot

    num terminal do Linux. Se você usar Linux com certeza gnuplot estará instalado ou se encontrará disponível no disco de instalação.

    Este exemplo lhe mostra uma solução aproximada junto com uma solução exata. Existe uma condição inicial que seleciona exatamente uma curva dentre as curvas da família de soluções.

  • Aproximação Polinomial digamos que começou com Euler mas leva o nome Lagrange e
    você pode encontrar mais alguma coisa a respeito neste página. O exemplo “exer02_09.gnuplot”
    contém uma aproximação polinomial, um polinômio de Taylor.

    Mas estes métodos de aproximação polinomial são antigos e complicados de usar a não ser em alguns casos especiais. Na década de 40 nasceu outro método, “polinômios por pedaços” ou em outras palavras um bocado de pedaços de polinômios para fazer uma aproximação. Um exemplo mais simples e mais corriqueiro é uma poligonalaproximação linear por pedaços, aparece todo dia em algum jornal. Nesta figura você
    pode ver o que há de mais simples em aproximação polinomial por pedaços, cada pedaço é uma reta – um polinômio do primeiro grau. Mas podem ser mais complicados (e consequentemente guardar mais informações) podem ser polinômios do terceiro grauaproximação polinomial  por pedaços(os mais comuns). No caso desta figura você
    pode ver uma curva formada por dois polinômios do terceiro grau, um definido no intervalo [-3,0]
    e o outro definido no intervalo [0,3]. Este último foi obtido com as seguintes informações:

    • -3 8 1

    • 0 -1 -1
    • 3 5 0

    uma matriz de dados em que na primeira coluna se encontra os nós ondes os valores foram
    medidos, na segunda coluna se encontram os valores lidos em cada nó (por um sensor) e na
    terceira coluna as taxas de variação em cada nó. A figura resultante registra graficamente
    estas informações.

Polinômio de Taylor

Eu costumo dizer que os polinômios
de Taylor não servem para nada. É falso dizer isto, mas tem o seu lado verdadeiro. Os polinômios de Taylor, possivelmente descobertos no século 18, representavam como uma tentativa de aproximar funções e são excelentes em alguns casos, como sen, cos, exp porque conhecemos uma quantidade infinita de informação sobre estas funções num único ponto (como é o caso de exp no ponto 0) ou em alguns pontos como o caso do seno e do coseno. Mas isto é extremamente raro, você conhece algum outro exemplo ? claro, tem as funções racionais, também! e produtos de polinômios por estas.

Mas quando falamos em aproximação queremos discutir dados que podemos obter experimentalmente que desejamos modelar com alguma equação algébrica. Nestes casos dificilmente se consegue taxa de variação confiável de ordem superior a 1. Com esta informação podemos conseguir notáveis aproximações usando polinômios por pedaços de grau 3, isto você pode ver no meu livro de Cálculo Numérico (dê um desconto, ele ainda está em produção, é uma edição preliminar)
aqui
ou esta versão que produzida para
duas página por folha a4.

Eu também fiz um programinha em gnuplot (você sabia que a gente pode programar em gnuplot ?) que mostra o efeito de aproximação com polinõmio de Taylor em dois casos,

  1. quando aproximo com polinômio
    de Taylor uma função polinomial, pode
    simplesmente coincidir, e o programinha que eu fiz diz porque.

  2. quando aproximo com polinômio
    de Taylor uma função não polinomial, neste caso podemos ver discrepâncias enormes, e o programinha que eu fiz mostra porque.

Você pode ver o programinha aqui
ou você pode encontrar diversos dos meus programas para gnuplot ou calc na minha página de Cálculo Numérico. pegue o link “programas” nesta página e se divirta com os programas que você vai encontrar ai. Se tiver alguma idéia interessante que desejar compartilhar comigo, não exite em me contactar. no link “exercicios” tem diversas listas de exercícios e nela você encontra o meu endereço eletrõnico. Seja bem vindo.

12 pensamentos sobre “Equações diferenciais e Aproximação polinomial

  1. Que bom amoliar meus conhecimentos de matemática e ainda por conta, matar a saudade de um grande CAMARADA chamada Praciano, mesmo por meio da fotografia.
    Um grande abraço,
    Neusita.

  2. Oi, gostaria de uma ajuda neste tópico!

    Como eu poderia obter um polinômio para descrever uma curva 3D? Supondo que eu tenha 3 átomos, ou 3 pontos quaisquer (A,B,C), e queira saber como varia a energia em função da distância destes (A-B, B-C). Eu tenho nos eixos x,y alguns valores de distância e em z a energia correspondente. Eu queria uma equação z(x,y) para poder aproximar para os demais valores que eu não tenho.

    Abraços.

  3. Sou aluno de Ciência da Computação – UFRN, gostaria de parabenizar pelo lindo trabalho de compartilhamento e iniciação para todos da área de exatas que procuram o sucesso! Parabéns! Continue assim professor!

  4. Professor queria enviar os dados diretamente ao seu e-mail, mas não consegui encontrá-lo. “misael_oliveira@hotmail.com” ou “misael.oliveira@gmail.com”, passe um teste que lhe repasso as informações para concluirmos as idéias. Obrigado.

  5. Olá, professor! Meu nome é João Antonio, sou do curso de Ciências da Computação aqui da UVA. Admiro muito o que você faz. Tenho visitado seu blog algumas vezes. Eu, há meses, estou tentando estudar contornos ativos (snakes), que envolve splines, mas eu não tenho base matemática sulficiente pra compreender como realizar isso. Contornos ativos é uma técnica usada para segmentar imagens e rastrear objetos em vídeos também. Eu sei que você tem muito o que fazer, mas, eu queria muito a sua ajuda pra eu conseguir desenvolver uma ferramenta que possa ser aplicada em alguma área e eu deveria saber disso primeiro pra eu poder criar alguma coisa. Compreenderei se não puder ajudar.

  6. João Antonio não conheço o assunto, mas se puder ajudar será um prazer. Sei que os splines se aplicam em várias áreas e o fato de ser um especialista em splines não garante que eu conheça todas as suas aplicações. Entre em contacto por e-mail para aprofundarmos a questão. Seja bem vindo.

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